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sind, hat a+n»’+1 Punkte, n+x Linien, a+r’ Flächen und „+»+1 Räume, 
also ist wieder a+c = n427 -4+1 —b+d. Eine durch beide Mittelpunkte 
gelegte schneidende Ebene, welche zugleich die vorerwähnten  Verbindungs- 
linien enthalten soll, sei durch die grössten Kugeln nach aussen begrenzt, 
erstrecke sich also nicht in den amplexen Raum. Dann kommen keine Punkte, 
aber n+n’ Linien, 22+2n’ Flächen und »n+n’ Räume hinzu, so dass also 
a+c = 3(n+n‘)+1 = b-+d. Wird die schneidende Ebene in den amplexen 
Raum zur Fläche eines Kreises erweitert, der die äusseren Kugeln in 2 Punk- 
ten berührt, so kommen zwei Punkte, vier Linien und zwei appendiculare 
Flächen hinzu, und es bleibt immer noch a—b+ c—d = 0. 
4. Zwei Ringkörper greifen verkettet in einander, Fig. 57. Jeder ist 
durch eine die Oeffnung des andern schliessende Fläche durchschnitten, welche 
selbst mit ihrem Ringe eine cyklische Grenzlinie gemein hat. Beide Schliess- 
flächen schneiden einander in einer Linie, deren Endpunkte auf je einer Ring- 
oberfläche liegen und die vier cyklischen Grenzen der beiden Schliessflächen 
acyklodisch machen. Die Durchschnittslinie macht beide Schliessflächen selbst 
acyklodisch. Die Ringkörper sind vermöge der in ihrem Innern gelegenen 
Theile der Schliessflächen acyklodisch. Vor Hinzufügung noch anderer in der 
Figur enthaltenen Flächen besteht der Complex aus 2 Punkten, 5 Linien, 6 
Flächen und 3 Räumen, wo 2+6—=5+3. Schneiden wir jeden Ringkörper 
noch an einer andern Stelle, wie die Figur andeutet, durch eine vierseitig 
begrenzte Fläche , so besteht jetzt jeder Ringkörper wegen des in seinem In- 
nern befindlichen Theils der neuen Schnittfläche aus 2 Körperräumen, so wie 
seine Oberfläche aus 2 Flächen, und wir haben a = 14, b= 21, c= 12, d=5, 
also wieder a—b+c—d — 0. Man dürfte jetzt — ohne Gefahr einer ent- 
stehenden Cyklose — den im Innern der Ringkörper liegenden Theil der 
Schliessflächen herausnehmen. Durch die Wegnahme in einem der Ringe 
würde c und d zugleich um 1, durch die Wegnahme in beiden Ringen um 2 
vermindert, während a und b ungeändert blieben. Die Gleichung des Census 
aber bliebe verificirt. | 
Nach Wegnahme der eben gedachten beiden Flächen dürfte man nicht 
wiederum auch die im Innern der körperlichen Ringe befindlichen Theile der 
vierseitigen Schnittflächen beseitigen. Es würde dadurch lediglich c um 2 ver- 
