176 J. B. LISTING, 
+ 24114 — 39; b= B= 4436 + ț TA; e m 4, cm 24, C0, 
d = ?2, xi” = 23, x2 — 183, w = 1, D = —35. Folglich 
Q = 39—74 +0435 = 0. 
8. Würde die polyëdrische Oberfläche des Innenraums durch eine Ku- 
gelfläche ersetzt ohne effective auf ihr liegende Linien, aber nach wie vor 
die 24 Endpunkte der inneren, wie-die 14 Anfangspunkte der äusseren ra- 
dialen Linien enthaltend, so träte bloss eine Aenderung im Bestand der zweiten 
und dritten Curie ein, indem durch Wegfall der 36 Polyëderkanten b — 24 
+14 — 38, und durch Austausch der 24 einfach eyklodischen Polyederflächen 
gegen eine durch 38 effective Punkte 37 fach cyklodisch gewordene Kugel- 
fläche c — 1, x’ — 37 werden muss. Indem also B und C zugleich um 36 
verringert werden, bleibt Q — 0. 
9. Zwei Linien im Raum, die eine beiderseits endlos, die andere mit 2 
effectiven Endpunkten, weder einander noch sich selbst kreuzend oder berüh- 
rend, sonst aber beliebig gestaltet, sind gegeben. Im einfachsten concreten 
Falle mag man sich beide Linien gerade denken. Der amplexe Raum ist 
jetzt einfach periphraktisch und einfach eyklodisch und es st a — A = 2; 
b—=—B—=2;, C= 0; d= 1, x"—= 1, n= 1, w =1, D= 0 und Q =? 
—2—0. Durch Hinzufügung jeder neuen isolirten endlichen Linie würde 
a um 2, b um í und =’ um 1 zunehmen und Q = 0 bleiben. Vereinigte 
man die Endpunkte der endlichen von beiden Linien zu Einem eflectiven 
Punkte, so würde a um 1 ab- und x” um 1 zunehmen. Jede neue solche 
in sich zurückkehrende Linie mit einem effectiven Punkte würde eine Ver- 
grösserung von a und b, so wie von x” und =’ um 1 zur Folge haben, wo- 
durch Q unverändert — O bliebe. Entzöge man der in sich zurückkehrenden 
Linie den einen efleciiven Punkt, wodurch sie cyklisch würde, so würden 
sich die Aenderungen in a und x wiederum compensiren. Jeder neue lineare 
Cyklus würde b und x, so wie x” und m’ um 1 vergrössern und dadurch Q 
unverändert lassen. Verschlingungen und Verkettungen solcher Linien unter 
sich und mit der endlosen Linie in beliebiger Complication würden hierbei 
irrelevant sein, da sie sich durch Anathese sofort beseitigen liessen. 
10. Durch Verlängerung der endlichen Linie nach einer Seite bis ins 
