178 J. B. LISTING, 
Ci fyd g, Bel, ey el a e D= —2, und somit 
0 —= 3—-6+1+?2 =0. 
Durch Hinzufügung jeder neuen solchen isolirten Kugel würden C und 
D zugleich um 2 wachsen, indem c, m, d und =’ um 1 zunehmen. 
13. Eine nach allen Seiten unbegrenzte Ebene theilt den ganzen unend- 
lichen Raum in 2 gesonderte unbegrenzte Theile. Esit A=0, B = 0, 
‚etc=14,d=23 o=1D=1. Also (Q=1-1 = 0. Ziehen wir 
in der Ebene eine gerade endlose Linie, so zerfällt die Ebene in 2 Stücke, 
b und c wachsen um 1, und Q bleibt = 0. Nehmen wir das eine Flächen- 
stück weg, so nehmen c und d zugleich um 1 ab. 
Zwei sich kreuzende unbegrenzte Ebenen ergeben eine unbegrenzte 
Linie, 4 Flächen und 4 Räume, und somit A = 0, b = B = 1; e = C = 4; 
d= å, w= 1, D= 3; also OQ—=—1+4—3 = 0. Durch Wegnahme 
einer der 4 Flächen wird C — 3, d — 3, œw = 1, D—?2 und Q = —1 +3 
—? — 0. Statt der drei von der gemeinsamen Linie ausgehenden nach einer 
Seite unendlich ausgedehnten Ebenen kann man deren » annehmen und es 
wird offenbar A = 0, B=1, C= n, den, o = 1, D= 4—1 und Q 
= —1 44nn 1 = 0. 
Durch einen in der Linie angenommenen effectiven Punkt steigt A und 
B zugleich um 1 und Q bleibt Null. 
Dreissich kreuzende unbegrenzte Ebenen (Coordinaten-Ebenen) ergeben 
1 Punkt, 6 Linien, 12 Flächen, 8 Räume, also a = A = 1; b= B = b; 
c= C0 = 1?, d=8, o= 1, D=7. Also Q= 1—64+12—7 = 0. 
Alle diese Fälle gestatten, ohne Einfluss auf die numerischen Elemente, 
die vorkommenden Ebenen und geraden Linien durch krumme Flächen und 
Curven zu ersetzen, wenn diese nur wie jene sich nicht in neuen Punkten 
oder Linien kreuzen oder berühren. 
14. Die Spitze oder der Mittelpunkt einer vollständigen (doppelten) Ke- 
gelfläche, Fig. 64, liege im Inneren einer Kugel, die durch sie in zwei cy- 
klischen Linien durchschnitten werde. Der Complex enthält alsdann 1 Punkt, 
2 eyklische Linien, 7 Flächen, von denen 3 der Kugel, 4 dem Kegel ange- 
hören, 6 Räume, wovon 3 innerhalb und 3 ausserhalb der Kugel liegen. 
Man hat also a = A = 1; b = sl, a = 1, B= 0; c= 1, N 
= 0, zz = i, sel, sl, 7-1, nr=0, Ce d= 6, 
