UEBER EINE FUNDAMENTALAUFGABE DER INVARIANTENTHEORIE. 5 
zu bildenden k-reihigen Determinanten 
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enthalten. Diese Grössen sollen die Coordinaten des Grundgebildes genannt 
werden. Dieselben sind im Allgemeinen nicht von einander unabhängig, 
vielmehr bestehen zwischen ihnen Beziehungen, auf welche jedoch hier 
nicht näher eingegangen werden soll. Wenn man an Stelle der Glei- 
chungen 2. lineare Combinationen derselben zu Grunde legt, so ändern 
sich diese p nur um einen gemeinsamen Factor. Sie sind also Ver- 
hältnisszahlen; und nur komogene Functionen derselben haben eine geome- 
trische Bedeutung. Andrerseits ist durch diese Coordinaten das betref- 
fende geometrische Gebilde wirklich bestimmt; denn in den nach % der 
æ aufgelösten Gleichungen 2. sind sämmtliche Coefficienten bekannt, 
wenn die Verhältnisse der p gegeben sind. 
Setzt man k — n— 1, so genügen die Gleichungen 2. um die Ver- 
hältnisse der æ zu bestimmen. Das Gebilde, welches n— 1 linearen Man- 
nigfaltigkeiten gemeinsam ist, ist also wieder der Punct; die p mit n— 1 
Indices gehen in g über. — Für k=2 und n = 4 geben die p genau 
die Plückerschen Raumcoordinaten der Geraden, welche in der Mannig- 
faltigkeit von drei Dimensionen durch zwei lineare Mannigfaltigkeiten 
zweiter Dimension ausgeschieden wird. 
$. 2. 
Doppelte Darstellung der Grundgebilde. 
Haben wir auf solche Weise die n — 1 Grundgebilde der Mannigfaltig- 
keit von n Dimensionen, den Punct eingeschlossen, durch Coordinaten li- 
nearer Mannigfaltigkeiten (n —2)'“ Dimension ausgedrückt, so können wir 
umgekehrt auch die Coordinaten aller dieser Gebilde aus Reihen von Punct- 
coordinaten zusammensetzen, und zwar auf folgende Weise. Ein Gebilde, 
welches % linearen Mannigfaltigkeiten 2. ee ist, rn. > 
2 n— 
vollständig bestimmt, wenn man n— k Puncte a”, x ) a an- 
nimmt, welche demselben angehören sollen. Es bestehen dann die k(n—k) 
Gleichungen 
