8 A. CLEBSCH, 
aus den x gebildete Determinanten von n—%k Reihen bedeuten. Die 
Gleichung 6. verwandelt sich also in 
Zi, ch. ER Zee o? 
und da zwischen den P keine linearen Relationen bestehen, so folgt 
hieraus ohne Weiteres 
ea P lv.. 
und der Satz: 
Die Coordinaten p, „ eines Grundgebildes, welches k linearen 
Mannigfaltigkeiten gemeinsam ist, drücken sich auch durch die (n — k)- 
reihigen Determinanten von n—k Puncten aus, die dem Gebilde ange- 
hören sollen, und zwar ist immer 
de ar Pfus..a’ 
wenn i, k,..m, p, v..o eine positive Permutation der Zahlen 1,2..n ist. 
Die Grössen q sind der Art nach ganz ähnlich gebildet wie die p; 
sind jene die Determinanten, welche sich aus den Coordinaten von n—k 
Puncten bilden lassen, so sind diese die Determinanten, welche aus den 
Coordinaten von k linearen Mannigfaltigkeiten n — 2 Dimension gebil- 
det werden. Die Zahl beider ist gleich gross, und sie sind einzeln ein- 
ander zugeordnet. Ich werde ein Gebilde dieser Art durch die Cha- 
racteristik (n — A, k) hezeichnen; wo denn die erste Zahl die Anzahl von 
Puncten, die zweite die Anzahl von linearen Mannigfaltigkeiten n — 2° 
Dimension angiebt, welche das Grundgebilde bestimmen. Der Punct ist 
dann ein Grundgebilde (1,2 —1) die lineare Mannigfaltigkeit n — 2” 
Dimension ein Gebilde (n— 1, 1). 
Der dualistische Character der Geometrie in einer (r— 1)fachenMan- 
nigfaltigkeit beruht auf der symmetrischen Gestalt der Gleichung u, = 0, 
welche angiebt dass ein Punct x auf einer linearen Mannigfaltigkeit 
liege. Durch Vertauschung der x und der u ändert der Ausdruck u, 
sich nicht; zugleich aber werden alle Grundgebilde (n—k, k) mit den 
Grundgebilden (k, n— A) vertauscht. Die Gesammtheit der Grundgebilde 
(n— k, k) ist also der Gesammtheit der Grundgebilde (k, n—%) duali- 
