UEBER EINE FUNDAMENTALAUFGABE DER INVARIANTENTHEORIE. 9 
stisch zugeordnet; so Punct und Gerade in der Ebene, Punct und Ebene 
im Raum. Nur bei geradem n existirt eine Classe =, = von Grund- 
gebilden, welche sich selbst dualistisch gegenübersteht, wie dies bei den 
Geraden des Raumes der Fall ist!). 
es 
Grundformen und Invarianten. Ziel der Untersuchung. 
Als die allgemeinste algebraische Form, welche in der Theorie der 
(n— 1)fachen Mannigfaltigkeiten zu betrachten ist, kann man eine solche 
ansehen, welche die Coordinaten beliebig vieler Puncte, die eines jeden 
homogen und zu beliebig hohem Grade, enthält. Aber es ist zweck- 
mässig, von vorn herein diejenigen Fälle im Auge zu behalten, wo meh- 
rere unter den vorhandenen Reihen von Punctcoordinaten nur zu Coor- 
dinaten anderer Grundgebilde verbunden auftreten. Daher definire ich 
die allgemeinste hier zu betrachtende algebraische Form sogleich als eine 
solche, welche die Coordinaten beliebig vieler Grundgebilde jeder Classe, 
und zwar die Coordinaten eines jeden zu beliebig hohem Grade, enthält. 
Die Aufgabe der Invariantentheorie, so weit sie sich auf Mannigfaltig- 
keiten von (n— 1) Dimensionen bezieht, ist es nun, für solche Formen 
oder Systeme solcher Formen alle invarianten Bildungen anzugeben. 
Ich werde im Folgenden zeigen, dass es hinreicht, Formen zu be- 
trachten, welche aus jeder Classe von Grundgebilden höchstens eines ent- 
halten. Denn es wird sich zeigen, dass alle invarianten Bildungen, welche 
aus einer der oben definirten allgemeinen Formen hervorgehen, auch 
aus einer Reihe simultaner Formen der eben angegebenen einfacheren 
Art abgeleitet werden können. Dies ist auch für simultane Formen der 
1) Ich habe diese Grundgebilde und ihr Auftreten in der Algebra bereits er- 
wähnt in meiner Notiz über Plückers Raumgeometrie (Göttinger gelehrte Anzeigen 
1869 St. 40.) Doch bilden diese Vorstellungen schon die Grundlage von Grass- 
manns Ausdehnungslehre, 1844 (siehe auch Hankel, Vorlesungen über complexe Zah- 
len, Leipzig, 1867). 
Mathem. Classe XVII. B 
