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Gerade den von einem beliebigen Puncte an eine gegebene Fläche ge- 
legten Tangentenkegel berühre. Dieser Classe von Formen und Glei- 
chungen steht dualistisch gegenüber eine siebente, welche gleichzeitig 
die Coordinaten einer Ebene und einer Geraden enthält. Die achte 
Classe endlich enthält die Coordinaten sowohl eines Punctes als einer 
Geraden und einer Ebene. Als Beispiel einer Gleichung solcher Art 
kann man sich etwa die Bedingung denken, unter welcher eine Gerade 
den Kegel berührt, welcher von einem beliebigen Puncte nach dem 
Schnitte einer gegebenen Fläche mit einer beliebigen Ebene geht. Ver- 
möge einer solchen Gleichung wird jeder Combination von Punct und 
Ebene ein Complex zugeordnet, jeder Combination von Punct und Ge- 
rader eine Fläche in Ebenencoordinaten, jeder Combination von Ebene 
und Gerader endlich eine Fläche in Punctcoordinaten. Erst durch Be- 
trachtung dieser sämmtlichen 8 Classen von Gebilden kann man erwar- 
ten der Geometrie des Raumes diejenige Vollständigkeit und Consequenz 
zu geben, welche die Theorie der binären Formen bereits besitzt. 
$. 4. 
Die verschiedenen Gestalten derselben Form: Herstellung der Normalform. 
Betrachten wir nunmehr eine Form der angegebenen allgemeinen 
Art. Dabei tritt zunächst hervor, dass dieselbe auf unendlich viele Ar- 
ten modificirt werden kann, ohne ihre Bedeutung zu ändern. Seien die 
Grössen p, irgend eine in der Form auftretende Coordinatenreihe, 
welche weder eine Reihe von æ noch eine Reihe von u ist. Zwischen 
diesen p besteht eine Anzahl von identischen Beziehungen. Ist also der 
Grad der Form in den p nicht zu niedrig, so kann man der Form diese 
Identitäten, multiplieirt mit passend gewählten niedrigeren Formen, hin- 
zufügen, ohne dass die Bedeutung der Form sich verändert. Es wird 
hierdurch eine gewisse Veränderlichkeit der Coöfficienten bedingt, welche 
man dazu benutzen kann, der gegebenen Form auf eine bestimmte und 
eindeutige Weise eine Normalform zu geben, deren Benutzung von viel- 
fachem Vortheile ist. Eine solche Normalform habe ich für die räum- 
