soviel Schritte nöthig, als hinreichen, 
UEBER EINE FUNDAMENTALAUFGABE DER INVARIANTENTHEORIE. 37 
während diese eine dasselbe Gewicht wie f hat, aber eine um 1 kleinere 
Zahl von Coordinatenreihen enthält. 
$. 12. 
Beweis des Hauptsatzes. 
Aus diesem Satze folgt nun unmittelbar das Theorem, dessen Be- 
weis der Hauptgegenstand dieser Untersuchung ist. So lange in dem 
aequivalenten Systeme, welches für f gesetzt ist, noch eine Form vor- 
kommt, welche zwei Reihen von Veränderlichen derselben Classe ent- 
hält, kann man auf eine solche Form immer dieselben Betrachtungen 
anwenden, und also sie durch ein aequivalentes System ersetzen, dessen 
Formen geringeres Gewicht haben, bis auf eine, welche bei gleichem 
Gewichte eine geringere Zahl von Coordinatenreihen enthält. Dieses Ver- 
fahren findet nur dann ein Ende, wenn keine Formen des aequivalen- 
ten Systems mehr als eine Reihe aus jeder Classe enthält. Man kann 
also folgenden Satz aussprechen: 
Jede Form f kann ersetzt werden durch ein ihr aequivalentes System 
von Formen, deren keine mehr als eine Reihe von Veränderlichen jeder 
Classe enthält. 
Ein solches System will ich das der Form f aequivalente reducirte 
System nennen. Es kann nun die Frage entstehen, ob dieses reducirte 
System immer aus einer endlichen Anzahl von Formen bestehe. Dass 
diese Frage zu bejahen sei, sieht man folgendermassen ein. 
Bei jedem Schritte, d. h. bei jeder Ersetzung einer Form durch 
ein ihr aequivalentes System, wie oben das der $ ist, wird die Anzahl 
der Formen nur um eine endliche Zahl vermehrt. Betrachten wir ferner 
diejenigen Formen des an irgend einer Stelle der Operationsreihe für f 
gesetzten aequivalenten Systems, welche unter allen dem reducirten Sy- 
steme noch nicht angehörigen das höchste Gewicht haben. Dieses Ge- 
wicht ist nicht grösser als das von f, da überhaupt das Gewicht niemals 
steigt. Aber es erfordert nur eine endliche Anzahl von Schritten, um 
dieses Maximalgewicht herunterzudrücken. Es sind nämlich dazu nur 
diese Formen welche das Maxi- 
