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ergiebt sich hieraus dass, sowohl wenn n gerade als wenn es ungerade ist, 
in S{/2k-+-h) die Zahlen n42} und n — 2? gleich oft vorkommen und ebenso 
die Zahlen n + 2l 4+ 1 und n — (2!-+1), dass also überhaupt die Zah- 
len n — l und n + l gleich oft vorkommen. Auch folgt hieraus weiter, 
dass in S(n— 2k—h) die Zahl n — 2} und n — (2!+1) jede 2 + 1 mal 
vorkommt. Ist nun n eine gerade Zahl und setzt man n — 2l = 2u 
so kommt, nach den vorhergehenden Erörterungen 2u in S(k—h) eben- - 
falls Z — (u— 1) = l + 1 mal vor und ebenso ergiebt sich, wenn n un- 
gerade, dass n — (2!+1) = 2u ebenfalls Z- 1 mal in S (k— h) vor- 
kommt. Ist n ungerade und man setzt n — 2l — 2u 4- 1 oder ist n 
gerade und n — (l-41) = 2u + 1 so findet sich wieder, dass in beiden 
Fällen 2u + 1 ebenso oft in S (n—2k—h) als in S (k— A) vorkommt. 
Es ergiebt sich hieraus, dass- überhaupt alle positiven geraden und un- 
geraden Zahlen, die sich in S (k— A) finden, ebenso oft in S (n—2k— h) 
vorkommen und umgekehrt. Da ferner in S (2%+4) die Zahlen n + ł 
ebenso oft vorkommen als die Zahlen n — l, so kommen in S (n—2k —h) 
die Zahlen — ! ebenso oft vor als die Zahlen /, d. h. ebenso oft als die 
Zahlen l und — } in S(k— A) vorkommen, und da die Anzahl der Glie- 
der in beiden Summen dieselbe ist, so müssen auch die Glieder, welche 
Null sind, in beiden Summen gleich oft vorkommen. Abgesehen von 
der Ordnung in welcher die Glieder auf einander folgen, sind demnach 
die beiden Summen vollkommen identisch. Es ist demnach auch 
S (k— h)" = S(n—2k—h) 
und namentlich 
8) S(k— k? = S(n— 2k—h). 
3. 
Nach diesen Vorbereitungen ist es leicht, folgenden Satz zu be- 
weisen: 
Wenn m und p irgend welche Zahlen bedeuten, n, k und A aber 
die frühere Bedeutung beibehalten, so ist 
