BewegH'Hg der kleinen Planeten. 321 



Summation - sich über alle benutzten Sterne erstreckt, zu einem Minimum zu machen, wozu als 

 Nebenbedingung die Relation 



6".'+F-+i<r-= 1 



hinzukommt. Die Lösung dieser Aufgabe ist bekanntlich identisch mit der, die Gleichung des Ellipsoids 



.4 .v- + 2 By- 4- C: - 4- 2 Dyz + 2 Ez%+ 2 Fxy = 1 ,, 



in welcher 



A = ll- B — lm- C—lu- 



D = Iitnn E — £nl F==zTilm 



ist, auf die Hauptachsen zu reduzieren. Man hat also die kubische Gleichung 



A-\ F E 



F B—l D — 

 E D C-X | 



nach X aufzulösen und erhält ihren drei Wurzeln entsprechend für die Unbekannten U, V und W die 

 drei Gruppen von homogenen Gleichungen : 



(A--^)l'+ FV + EW =0 

 FI' +(^-X)l'+ l)\Y = 

 EU 4- UV + (C— X) W=o 



aus denen die Verhältnisse der U, V und W zu berechnen sind. 



Die Frage nach der Bedeutung der drei Wurzeln der Determinantengleichung und der ihnen 

 entsprechenden Wertesysteme der U, V und W, die ihrer Definition nach den bisherigen A A", AY 

 und' A Z proportional sind, indem 



U—G&X v=<;iy iv=giz 



ist, löst sich in der folgenden Weise: 



Es laute die kubische Gleichung in aufgelöster Form 



X 3 -^ X 2 + J 8 X— J a = 0, 



dann ist 



J i = A + B + C 



7, *= AB-F' + B ( ■ D' + CA—E 1 



J 3 — AB C+ 2 D E F—A D 2 — B FA l 'F-. 



Nach der Definition der Größen /, /// und u ist l- 4- ui- 4- n- = 1 und daher ,/\ z= 1 (Ji 4- m\ 4- n'i) = p, 

 wenn/» die Anzahl der zur Rechnung benützten statistischen Mittelwerte der Figenhewogungen Aa 

 und A5 bedeutet. Denkt man sich die Koeffizienten .4, B. . F der Ellipsoidgleichung durch diese Zahl 

 dividiert, so kann man stets 



./, -A + B + C- 1 



annehmen. Zur Umformung von ./., sei wieder das nachstehende ausgeführt. Nach einem bekannten 

 Satz der Determinantentheorie ist 



AB-F 1 =1 (/;) X (ml | (S h »i, I 2 = SS (/„ im» />. m*) 2 



die Doppelsummc über die zwei Indizes •/. und X erstreckt. Ebenso ist 



BC D 2 = 11 (///, II, III, Hy r 



CA—E 2 = 11 (//,/,,-;/,/,)- 



