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und damit wird deren Summe 



J.y =: SS [1 — (/„ />.+ »/,. ;;/>. -4 //„ »>.) 2 | 



oder, wenn man wieder die Größen ß und t einführt : 



J 2 = SS (1— (cos i x cos /». + sin /'., sin />" cos (& x — &>.))'-']. 



Jede Gruppe der Größen /, m und n bestimmt nun einen Vektor im Räume und mit ihm einen 

 Punkt auf der scheinbaren Himmelskugel. Bezeichnet man ihn mit P x , beziehungsweise P>., so ist 



cos / x cos 4+sin z' x sin 4 cos (&„—&>.) = cos S x >., 



das heißt gleich dem cos der sphärischen Distanz S zweier dieser Punkte und man hat nunmehr in 

 kurzer Form 



J 2 = SS sin 2 Sa- 



In gleicher Art folgt für J$ die dreifache Summe SSS, erstreckt über die drei Indizes x. X und \x, 

 J 3 = SSS 1 cos S x x cos S X|l =: SSS sin 2 S x >. |t 



COS Sx x 1 COS S),|jl 



COS Sp* cos S )lX 1 



wenn man mit sin vS x >.„. den Eckensinus der vom Mittelpunkte der Kugel nach den drei Punkten P x , P>, 

 und P |t gezogenen Kanten bezeichnet. Die kubische Gleichung läßt sich somit in der Form 



X 3 — >.'-' + ),n -sin 2 S»x— SSS sin 2 S x >. )t = 



anschreiben und ihre Diskussion führt zu der gesuchten Bedeutung ihrer Wurzeln. Fallen nämlich die 

 einzelnen Punkte P zusammen, das heißt ist P x = P>, = P (l , so ist 



sin S x >. = sin S^ = 



die kubische Gleichung geht über in 



X :! — X 2 = 0. 



Sie hat zwei Wurzeln gleich 0, und eine gleich 1, das Ellipsoid degeneriert in eine Ebene, und zwar 

 ist diese Ebene der größte Kugelkreis, dessen Pol der Punkt P ist. Es ist dieser Kreis nichts anderes 

 als die Bahnebene der Sterne, beziehungsweise der Planeten. Im konkreten Falle werden die einzelnen 

 Punkte P nicht ganz zusammenfallen, sondern ein wenig voneinander verschiedene Lagen an der 

 scheinbaren Himmelssphäre einnehmen. Faßt man diese Unterschiede als kleine Größen erster Ordnung 

 auf, so wird J-, eine kleine Größe zweiter, J$ eine solche dritter Ordnung sein und die Wurzeln der 

 kubischen Gleichung werden wohl nicht mehr 



1 



lauten, aber doch von diesen nur wenig differieren. Der ersten Wurzel = 1 wird auch fernerhin die 

 Richtung nach dem Pole der Bahnebene entsprechen, die beiden anderen dagegen stellen ganz 

 bestimmte Richtungen im Räume vor, die in dieser Ebene liegen und aufeinander senkrecht stehen. 

 Es ist klar, daß die kleinste gemäß der Definition des Apex als der Bedingung des Minimums nach 

 diesem, die mittlere daher notwendigerweise nach dem Zentrum der Bewegung hinweist. 



Mit den schon oben angesetzten Weilen der Vektorcosinus /, /// und n fanden sich die Koeffizienten 

 der Ellipsoidgleichung zu: 



I II I II 



A — + • 01 781 + • < )2885 D— - 3 ■ ( >8l >8 I —3/ 83( >5 7 



B — + 1 • 41 >85i i + 1 ■ I >0 1 9i ) E — + • < )SX 71 —0-1 8200 



C :+ 9-51360 . + 9-36616 F= - 0-0496-4 +0-08878. 



