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Unter den schönen besondern Anwendungen, welche Plücker aus 
den Sätzen über Schnittpunctsysteme gezogen hat, erwähne ich nur eine, 
welche später von mehreren Geometern wieder gemacht ist, ohne dass 
man Plückers Priorität gekannt hätte. Sie betrifft den merkwürdigen 
und höchst unmittelbaren Beweis des Pascalschen Satzes, bei welchem 
der Kegelschnitt mit der Pascalschen Linie als Curve dritter Ordnung 
betrachtet wird, während das einbeschriebene Sechseck die Stelle zweier 
solcher Curven vertritt (Analytisch-geometrische Entwickelungen Bd. 1 
p. 267 Note). Bað 
Ich habe schon erwähnt, dass Cramer zuerst die singulåren Puncte 
der algebraischen Curven genauer untersucht hat. Die Betrachtung der 
Singularitäten im Sinne der neuern Geometrie rührt von Poncelet her. 
Dieser zeigte, dass die Classe E einer Curve nter Ordnung, welche Ger- 
gonne seltsamer Weise für identisch mit ihrer Ordnung gehalten hatte, 
im Allgemeinen gleich n (n—l1) sei; und es ergab sich hieraus ein Para- 
doxon, dessen Lösung erst durch die Theorie der einfachen Singulari- 
täten möglich wurde. Wegen des Princips der Dualität würde die 
Ordnung n aus der Classe k ebenso gebildet werden müssen, wie umge- 
kehrt k aus n. Wollte man aber die Ordnung der Curve aus der ange- 
gebenen Grösse von k bilden, so würde man nicht wieder zu n zurück- 
gelangen, sondern eine viel grössere Zahl erhalten. Daher mussten Mo- 
mente vorhanden sein, welche bei diesen Operationen Erniedrigungen her- 
beiführten. Schon Poncelet erkannte, dass ein Doppelpunct die Classe 
um zwei, ein Rückkehrpunct sie um wenigstens drei, ein p-facher Punct 
mit lauter verschiedenen Tangenten sie um. Ti Einheiten erniedrige. 
Hier war es nun, wo Plücker eingrif Indem er einerseits die Zahl der 
Wendepuncte direct bestimmte, den Einfluss der Doppel- und Rückkehr- 
puncte berücksichtigte, und endlich das Princip der Dualität auf die 
erhaltenen Resultate anwandte, wurde er auf die berühmten Formeln 
für die Singularitäten der Curven geführt, welche seinen Namen 
führen, und welche das Poncelet'sche Paradoxon vollständig erledigen ; 
Formeln, welche bereits im Jahre 1854 Steiner als die ‚bekannten‘ ci- 
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