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tiren konnte, ohne jedoch Plückers Namen dabei irgendwie zu erwähnen. 
Plücker theilte seine Formeln zuerst in Crelles Journal Bd. 12 (Solu- 
tion d’une question fondamentale concernant la theorie generale des cour- 
bes, 1834) mit; eine weitere Ausführung und volle Dariegung der Theorie 
gab er in der: „Theorie der algebraischen Curven“, 1839. 
Bei der Beurtheilung der besondern singulären Puncte und Tan- 
genten, auf deren Berücksichtigung man sich zunächst beschränken durfte, 
spielt das Prineip der Dualität eine hervorragende Rolle. So wie Ord- 
nung und Classe einer ebenen Curve, so stehen Doppelpuncte und Dop- 
peltangenten, Rückkehrpuncte und Wendetangenten dem Begriffe nach 
dualistisch einander gegenüber. Es zeigt sich, dass diese vier einfachsten 
Singularitäten ein abgeschlossenes System bilden, insofern man alle höhern 
Singularitäten zunächst ausschliessen, und sich auf das Studium von 
Curven beschränken kann, welche keine höhere Singularitäten enthalten. 
Diese selbst aber auszuschliessen ist unmöglich; denn ausser den Kegel- 
schnitten giebt es keine algebraischen Curven ohne höhere Singulari- 
täten, welche zugleich der genannten völlig entbehrten. 
Auf die so umgränzte Gattung von Curven bezieht sich Plückers 
Untersuchung. Indem er, wie erwähnt, aus der Ordnung, der Zahl der 
Doppelpunete und der Zahl der Rückkehrpuncte die Classe und die An- 
zahl der Wendetangenten direct bestimmte, erhielt er durch das Princip 
der Dualität eine letzte Gleichung, und mit ihr eine indirecte Bestimmung 
für die Zahl der Doppeltangenten. 
Es scheint, dass Jacobi Plückers aus dem Principe der Dualität 
geschöpften Beweis nicht für hinreichend strenge hielt. Er bestimmte 
daher nochmals mittelst einer ausführlichen Untersuchung direct sowohl 
die Zahl der Doppeltangenten, wie die der Wendetangenten, übrigens 
nur für Curven ohne Doppel- und Rückkehrpuncte (Crelle Bd. 40, 1850). 
Indess hatte Cayley eine directe Ableitung dieser Bestimmung bereits 
1847 gegeben (Crelles Journal Bd. 34). 
Es darf wohl hier gleich der Folgerungen gedacht werden, welche 
später von Cayley bezüglich der Raumcurven aus Plückers Gleichungen 
gezogen wurden. Es ist ferner an die merkwürdige Gestalt zu erinnern, 
