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welche den Gleichungen Plückers durch Verbindung der geometrischen 
Untersuchungen mit der Theorie der Abelschen Functionen gegeben werden 
konnten, indem man als neue Singularität das Geschlecht der Curve 
hinzufügte. Durch den von Cayley eingeführten Begriff der Aequivalenz 
höherer singulärer Elemente mit einer gewissen Anzahl von niedern 
scheint der Anwendung dieser Formeln ein weiteres grosses Gebiet er- 
worben zu sein. In einzelnen Fällen war eine solche Aequivalenz Pon- 
celet und Plücker schon bekannt; die Untersuchungen nach dieser 
Richtung sind indessen auch jetzt noch keinesweges als abgeschlossen 
zu betrachten. Dasselbe gilt von dem durch Salmon und Cayley in 
Angriff genommenen Probleme, ähnliche Formeln für Flächen aufzu- 
suchen; eine Untersuchung, welche bei der Ausdehnung und Schwierig- 
keit des Gegenstandes, und bei den täglich sich noch mehrenden Erfah- 
rungen die Geometer wohl noch lange beschäftigen wird. 
Ehe Plücker zu einer vollständigen Entwicklung des Zusammen- 
hanges der Singularitäten gelangte, hatte er die Wendepuncte der Curven 
dritter Ordnung und die Theorie dieser Curven überhaupt ausführlich 
behandelt, und die betreffenden Untersuchungen in seinem „System der 
analytischen Geometrie“, 1835, niedergelegt. Insbesondere erscheinen 
dabei die Wendepuncte der Curven dritter Ordnung als der vollständige 
Durchschnitt der gegebenen Curve mit einer zweiten von gleicher Ordnung. 
Die allgemeine Untersuchung der Wendepuncte konnte Plücker auch 
noch später nicht so weit führen, dass das System der Wendepuncte als 
Schnittpunctsystem der Curve nter Ordnung mit einer Curve 3(n— Ster 
Ordnung rein hervortrat; ein Resultat, welches zu Hesse’s schönsten 
Entdeckungen gehört, und den Namen Hesse’s mit einer der wichtigsten 
Covarianten der ebenen Curven verknüpft hat. Dagegen entwickelte 
Plücker in der nähern Untersuchung der Curven dritter Ordnung, indem 
er zuerst die Zahl 9 ihrer Wendepuncte angeben konnte, aus dem schon 
von Maclaurin gefundenen Satze, nach welchem auf der Verbindungslinie 
zweier Wendepuncte immer noch ein dritter liegt, den Begriff der 12 
Wendepunctslinien. Er konnte zeigen, dass von den Wendepuncten 
einer reellen Curve dritter Ordnung stets drei und nicht mehr als drei 
