ZUR THEORIE DER GAUSS'SCHEN FUNCTION F{a,(t,y,x). 7 



III. 



Es ist jetzt vor alien Dingen nothig, den Verlauf der Function etwns 

 genauer zu untersuchen. Zu diesem Ende denke man sich durch sammtliche 

 Verzweigungspunkte der Function eine in sich zuriicklaufende Linie I gezogen, 

 welche die Gesammtheit der complexen Werthe in zwei Grossengebiete scheidet. 

 Innerhalb jedes von ihnen wird alsdann jeder Zweig der Function stetig und 

 \on den iibrigen gesondert verlaufen; langs der gemeinschaftlichen Grenzlinie 

 aber werden zwischen den Zweigen des einen und des andern Gebiets in 

 verschiedenen Begrenzungstheilen verschiedene Relationen statlfinden. Zu ihrer 



bequemeren Darstellung werde ich die mittelst des Coefiicientensystems S— ( ) 



aus den Grdssen t, u gebildeten lineiiren Ausdriicke pt -J- qu, rt + su durch 

 (&) (/, u) bezeichnen. Es moge ferner nach Analogie der von Gauss vor- 

 geschlagenen Benennung ^posiliv laterale Einheit" fiir -\~i a 's ^positive" Sei- 

 tenrichtung zu einer gegebenen Richtung diejenige bezeichnet werden, welche 

 zu ihr ebenso liegt, wie 4- i zu 1 (also bei der iiblichen Darstellungsweise 

 der complexen Grdssen die linke). Demgemass macht x einen » positiven 

 Umlauf um einen Verzweigungswerth « a , wenn es sich durch die ganze Be- 

 grenzung eines nur diesen und keinen andern Verzweigungswerth enthaltenden 

 Grossengebiets in einer gegen die Richtung von Innen nach Aussen positiv 

 liegenden Richtung bewegt. Es gehe nun die Linie / der Reihe nach durch 

 die Punkte xz=a } x = b, x~c } und in detn auf ihrer positiven Seite lie- 

 genden Gebiete seien P\ P" zwei in keinem constanten Verhaltnisse stehende 

 Zweige der Function P. Jeder andere Zweig P" lasst sich dann, da in der 



vorausgesetztermassen statlfindenden Gleichung c P' -\~ c" P" + c ' P — 

 c" nicht verschwinden kann, linear und mit constanten Coefficienteu in P' 

 und P" ausdrucken. Nimmt man nun an, dass P', P" durch einen positiven 

 Umlauf der Grosse a; um a in (,4) (P\ P"), urn * in <W'> O, urn c in 

 (C)(P', P") ubergehe, so wird durch die Coefficienten der Systeme (J), 

 C#), (<?) die Periodicitat der Function vollig bestimmt sein. Zwischen diesen 

 fmden aber noch Relationen Statt. Wenn namlich x das negative Ufer der 

 Linie I durchlauft, so miissen die Functionen P\ P" die vorigen Werthe 

 wieder annehmen, da der durchlaufene Weg negativerseits die ganze Begren- 



