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BERNHARD RIEMANN, 



zung eines Grbssengebiets bildet, innerhalb dessen diese Functionen allenl- 

 halben einandrig sind. Es 1st dies aber dasselbe, als ob der Werth x sich 

 von einem der Werlhe c, b, a bis zum folgenden auf der positiven Seite 

 fortbewegt, dann abep jedesmal um diesen Werth positiv herum, wobei 

 (/>', P"~) der Reihe nach in {C){P\ P") A (J5)(C)GP', ?'% schliesslich in 

 OO (#)(<?)(/>', <P") iibergeht, Es ist daher 



(0 oo (B) cc) = (£ °) ; 



welcbe Gleichung vier Bedingungsgleichungen zwischen den zwolf Coefficienten 

 von A } B, C liefert. 



Bei der Discussion dieser Bedingungsgleichungen beschranke ich mich, 



Fixirung 



der Vorstellungen, auf die Function P[ , „, ^,x) 



d 



Fall, wenn az=.0, bz=oo, c~ 1, was die Allgemeinheit der Resultate nicht 

 wesentlich beeintrachtigt, und wahle ftir die durch 1, co, zu ziehende 

 Linie / die Linie der reellen Werthe, welche um der Reihe nach durch c,b, a 

 zu gehen von — oo nach -\- oo gerichtet sein muss. Innerhalb des auf der 

 positiven Seite dieser Linie liegenden Gebiets, welches die complexen Werthe 

 mit positiv imaginarem Gliede enthalt, sind dann die oben charakterisirten Be- 



standtheile der Function P, die Grossen P a , P a , f% P' , P r , P Y einandrige 

 Functionen von x und sind bis auf constante Factoren , welche von der Wahl 

 der Grossen c . c ,,..., c , abhangen, vollig bestimmt, wenn die Function 



ft fZ 



P gegeben ist. Die Functionen P , P gehen durch einen positiven Umlauf 

 der Grosse x um in P e , P e iiber und ebenso durch einen 



positiven Umlauf dieser Grosse um oo die Functionen P , P^ in P ' e ,: ", 



B' 8'2m y y' 



P e und durch einen positiven Umlauf um 1 die Functionen P r , P 



y y^Tii y' y'^liii 



in / e ' , P / e' . Bezeichnet man den Werth, in welchen P durch 

 einen positiven Umlauf von x um iibergeht, durch P\ so ist, wenn 



C „ P + o ,P f P — c e P -f- c ,e P . 



a a a a 



