ZUK THE0R1E DEH GAUSS'SCHEN FUNCTION F(a,0, y ,x). 9 



Diese Ausdriicke habeu eine von Null verschiedene Determinante , da n. V. 



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a _# 



a — a keine ganze Zahl ist und folglich kiinnen P , P auch umgekehrt in 



3 3' y y' 



P } P', also auch in P , F H ; P r P r linear mit constanten Coefficienlen aus- 



gedriickt werden. Setzt man nun 





cc 



P" - a a P^ -\- a fJ , P^ zz a P Y + a , P Y 



p p r r 





? & y y 



«r, « , l icc,ct, 



und zur Abkurzung / ; / > = (6) I f Y -) — (c) 



p P ) ' Y Y 



1 1 



und die inversen Substitutionen von (U) und (c) bez.w. — (6) und (c) 



cc cc 



so ergeben sich fur die Functionen CP . P ) die Substitutionen 



aim \ L32m~ \ j /2m . 



W=U '°*'UnL( B l=®L %>> '^=^L W W 



,e J (0 ,e* | (0 ,e' » 



Aus der Gleichung (^4) (5) ((J) = f ' J folgt nun zunachst, da die Deter- 

 minante einer zusammengesetzten Substitution dem Producte aus den Deter- 

 minanten ihrer Componenten gleich ist, 



1 = Det (J) Det (£) Det (C) 



1 — 1 



Oder, da Det (6) Det (6) =1, Det (c) Det (c) 



(2) « 4- a -\- fi -{■ ft' -\- y + Y' — einer ganzen Zahl, womit die obige An- 

 nahme, dass diese Exponentensumme = 1 sei, vereinbar ist. 



Die ubrigen drei in (A)(E)(C) = ( ' j) enthaltenen Relationen geben 



drei Bedingungen fur (b) und (c), vvelche indess leichter auf folgendem Wege 



gefunden werden. 



Wenn x erst um cc und dann urn positiv herumgeht, so bildet der 



durchiaufene Weg zugleich einen negativen Umlauf um 1. Der Werth, in 



ft 



welchen P dadurch ubergeht, ist daher 



Mathem. Classe. VII. B 



