ZUK THEORIE DER GAUSS'SCHEN FUNCTION F{u,fi t y,x). 13 



und folglich fiir x = 0, 00, 1 unendlich klein von den Ordnungen a + ti— 1, 



fi -f- /?'-}- 1 — 2 — a — a — y — Y> Y + / — * w ' rc ' > iibrigens aber stetig 

 und einandrig bleibt, so dass 



c 



a dP a a' dP\ ._«_«'+ 1 .— V — V'+'i 



P" P -—) x ' (1 - or) 





eine allenthalben stetige und einandrige Function bildet, folglich einen con- 

 stanten Werth hat. Dieser constante Werth dieser Function ist nolhwendig 



Null versch 







log P ' — const., folglich « — a' 



sein wiirde gegen die Vorausselzung; offenbar miisste sie gleich Null werden, 

 wenn fur einen von 0, 1, CO verschiedenen Werth von x P u. P gleich- 



A P a dP a 

 zeitig verschwanden, da — - , -— als Derivirte einandrig und stetig blei- 



dx ax 



bender Functionen nicht unendlich werden konnen. 



Es werden daher P a w. P* fiir keinen von 0,1, CO verschiedenen 

 Werth von x gleichzeitig =0, und es bleibt die einwerthige Function 



P * />«' P P P? P r V 



allenthalben endlich, mithin constant, w. z. b. w. 



Aus dem eben bewiesenen Satze folgt, dass in zwei Zweige Einer 

 P-function, deren Quotient nicht constant ist, jede andere P-function mit 

 gleichen Exponenten sich linear mit constanten Coefficienten ausdriicken liisst 

 und dass durch die im Art. I. geforderten Eigenschaften die zu defmirende 

 Function bis auf zwei linear in ihr enthaltene Constanten vollig bestimmt .st. 

 Diese werden in jedem Falle leicht aus den Werthen der Function fiir spec.elle 

 Werthe der Veranderlichen gefunden, am bequemsten , indem man die Ver- 

 anderliche eincm der Verzweigungswerthe gleich setzt. 



Ob es immer eine jenen Bedingungen genugende Function gebe, bleibt 

 freilich noch unentschieden, wird sich aber spater durch die wirkliche Dar 

 stellung der Function mittelst bestimmter Integrale und hypergeometr.sche 

 Reihen erledigen und bedarf daher keiner besondern Untersuchung. 





