14 BERNHARD RIEMANN, 



V. 



Ausser den fiir jedwede Werthe der Exponenten mdglichen Transfor- 

 mationen des Art. II. ergeben sich aus der Definition noch leicht die beiden 



Transformationen : 



Oco 1 i it oo 1 



(A) P]0 p y x\ = P \y 2/? y yfx 



>i P' y' I <V W r' 



wo nach dem Friiheren /? + /?' +/-f-/' = £ sein muss, und 



(0 co 1 i (1 P (> 2 



5 



(B) P y x = P \y y y Vx 



'* i v • 'r'r'r' 



wo y + y — J und q eine imaginare dritte Wurzel der Einheit bezeichnet. 

 Una samratliche Functionen, welche sich rait Hulfe dieser Transformationen 

 auf einander zuruckfuhren Iassen, bequem zu iibersehen, ist es zweckraassig, 

 stalt der Exponenten ihre Differenzen einzufuhren und, wie oben vorge- 

 schlagen, durch p{a—a\ P — P' y — y\ x~) samratliche in der Form 



S r4 .,« n fa p 



x (1 — x) Py , , xj enthaltenen Functionen zu bezeichnen, wobei 



« P Y 



a — a, p — p'j y — y' die erste, zweite, dritte Exponentendifferenz genanDt 

 werden mag. 



Aus den Formeln im Art. II. folgt dann , dass in der Function 



0*> V, v , x) 



die Grdssen X, jll, v beliebig in s Entg 



verwandelt und beliebig 



unter einander vertauscht werden kdnnen. Die Veranderliche nimmt dabei 



1 11 



einen der 6 Werthe x, 1 — X) -, I , , x an , und zwar 



x x \ — X X 1 



haben von den* 48 auf diese Weise sich ergebenden P-functionen je acht, 

 welche durch blosse Zeichenanderung der Grdssen A, ft, v aus einander her- 

 vorgehen, dieselbe Veranderliche. 



Von den in diesem Art. angegebenen Transformationen A und B ist die 

 erste anwendbar, wenn von den Exponentendifferenzen entweder eine gleich 

 ^ oder zwei einander gleich sind , die zweite , wenn von ihnen entweder zwei 

 ± i Oder alle drei einander gleich sind. Durch successive Anwendung dieser 

 Transformationen erhalt man daher durch einander ausgedriickt: 



