16 BERNHARD RIEMANN, 



Die Auzahl der verschiedenen Ausdriicke, welche man durch diese 

 Transformation fur jede der Transcendenten I— HI. erhiilt, ergiebt sich, wenn 

 man berticksichtigt, dass in den obigen P-functionen als Veranderliche alle 

 Wurzeln der Gleichungen, durch welche sie bestimmt werden, zulassig sind 

 und jede Wurzel zu einem Systeme von 6 Werthen gehort, welche mittelsl 

 der allgemeinen Transformationen fur einander als Veranderliche eingefuhrt 

 werden konnen. 



Es fuhren aber im Falle I. die beiden Werthe von x ± und ar 5 , welche 

 zu einem gegebenen .r 2 gehoren, auf dasselbe System von 6 Werthen, so 





dass jede der Functionen L durch P-functionen mit 6 . 3 = IS verschiedenen 

 Veranderlichen ausgedruckt werden kann. 



Im Falle II. fuhren von den zu einem gegebenen Werthe von x$ ge- 

 horigen Werthen die beiden Werthe von xg und x + , die 6 Werthe von x$ 

 und von den 6 Werthen von x 2 und von xi je zwei zu demselben Systeme 

 von 6 Werthen. Es liefern also xi und x 2 je drei und x$, ..., x$ je em 

 System von 6 Werthen, also alle zusammen 6.10 = 60 Werthe, durch 

 deren P-functionen sich jede der Functionen II. ausdrucken lasst. 



Im Falle III. endlich liefern * 3 , die beiden W 7 erthe von x 2 , die beiden 

 Werthe von x$, und von den vier Werthen von .v x je zwei ein System von 6 

 Werthen , so dass jede der Functionen HI. durch P-functionen von 6 . 5 = 30 

 verschiedenen Veranderlichen darstellbar ist. 



In jeder P-function konnen nun ohne Anderung der Veranderlichen mit- 

 telst der allgemeinen Transformationen die Exponentendifferenzen beliebige 

 Vorzeichen erhalten, und also kann, da keine dieser Exponentendifferenzen 

 ist, eine und dieselbe Function auf 8 verschiedene Arten als P-function 

 derselben Veranderlichen dargestellt werden. Die Anzahl sammtlicher Aus- 

 driicke betragt also im Falle I. 8.6.3= 144, im Falle II. 8 . 6 . 10 = 480, 

 im Falle HI. 8.6.5 = 240. 



VI. 



Wenn man sammtliche Exponenten einer P-function um ganze Zahlen 

 andert, so bleiben in den Gleichungen (3j Art. HI. die Grdssen 



