

ZUft THEORIE DER GAUSS'SCHEN FUNCTION F[a, 0, y, x). 19 



Beschrankt man sich, um ihre Ableitung moglichst zu vereinfachen , auf 

 den Fall y = 0, auf welchen der allgemeine nach Art. II. leicht zuriickgefiihrt 



a . ~ct 



wird, und setzt P=y, P =y' y P — y", so ergiebt sich ; dass die Functionen 



, dy" tf dy d 2 y ;; d 2 y" \ Ay d 2 y" dy" d 2 y' 



dlogx d log x' d logx 2 u dlogx 2 dlogx dlogx 2 d\ogxd\ogx 2 



9 ' I o 



mit x (i — x) ' ■ multiplicirt, endlich und einandrig bleiben 



fur endliche Werthe von x und unendlich von der ersten Ordnung werden 

 fiir x = QCj und dass iiberdies das erste dieser Producte fur #=1 unendlich 

 klein von der ersten Ordnung wird. Fiir y = const/ y' -\- const." y" findet 

 daher eine Gleichung von der Form statt 



dlogx 2 ^ -'dlogx 



in welcher A, B, A', B' noch zu bestimmende Constanten bezeichnen. 



Nach der Methode der unbestimmten Coefficienten lasst sich eine Losung 

 dieser DifFerentialgleichung nach um 1 steigenden oder fallenden Potenzen in 

 eine Reihe 



21a x 

 n 



entwickeln, und zwar wird der Exponent fi des Anfangsgliedes im ersten 

 Falle, wo er der niedrigste ist, durch die Gleichung 



ft/i — Aju -J- A' = 



und im zweiten, wo der hochste ist, durch die Gleichung 



pp + B/i + B' = 

 bestimmt. Die Wurzeln der ersteren Gleichung miissen a und a\ die der 



letztern — fi und — ft' sein und folglich 



A =z a -f- cc' A' ~ act' 



B = + V B' = $% 

 und es geniigt die Function P( a f L , x) = y der Differentialgleichung 



a p y 



d 2 y 



* a^ot 2 -(* + «' + [ii + ^ ] X) dW^ C "*'- W *» 







C2 





