20 BERNHARD RIEMANiN, 



Es bestimmen sich ferner die Coefficienten aus einem von ihnen mittelst 



der Recursion sfo rra el 







* 



a (n^-i — a)^-^ 1 - a 'J 





t 







welcher a n 



Const. 





n(n — ct) n(n — ct.'^ II(- n~&) n(—n- #') 



genugt. 



Demnach bildet die Reihe 





n 

 x 





y — Const. 2 



II(n — a) IIQi- a') ll(—n~fo II (— n ~ £') 



sowohl wenn die Exponenten von a oder a an um die Einheit steigen, als 



h wenn sie von —Q oder —@ an um die Einheit fallen, eine Losung 



* i 



der DifFerentialgleichung und zwar bez. w. diejenigen particularen Losungen, 

 welche oben durch P a , P a i F* IT bezeichnet worden sind. 



Nach Gauss, welcher durch F(a,b } c,x) eine Reihe bezeichnet, in 



, » , ^ (n 4- ci~) (n 4- b~) 

 welcher der Quotient des n 4- lten Gliedes in das folgende = — -x 



O+IJO + O 

 und das erste Glied =1 ist, lasst sich dieses Resultat fur den einfachsten 



Fall, fur a = 0, so ausdriicken 



r*C % I- *) f Consl - F &> a; i -«; .) 



oder 



F(a, b, c, x) = P a ( 



a/0 a 



x 



1 — c b c — a — b 



Aus demselben erhalt man auch ieicht einen Ausdruck der P-function 

 durch ein bestimmtes Integral, indem man in dem allgemeinen Gliede der 

 Reihe fur die ZT-functionen ein Euler'sches Integral zweiter Gattung einfiihrt 

 und dann die Ordnung der Summation und Integration vertauscht. Auf diese 

 Weise findet man, dass das Integral 



a 



x 



V-^f-o-Z-v Ci _ sr «-B- V - a -&'- Vjs 



1 



von emem der vier Werthe 0, 1, -, cc bis zu einem dieser vier Werthe 



X 



