ZUR THEORIE DER GAUSS'SCHEN FUNCTION F («, 0, y, *). ; 21 



I 



ct (3 y 



auf beliebigem Wege erstreckt eine Function Pi ,£?,,#) bildet und b 



a 



passender Wahl dieser Grenzwerthe und des Weges von einem zum andern 



jede der sechs Functionen P ,P , ..., P' darstellt. Es lasst sich aber auch 

 direct zeigen, dass das Integral die charakteristischen Eigenscbaften einer 

 solchen Function besitzt. Es wird dies in der Folge geschehen, wo dieser 

 Ausdruck der P-function durch ein bestimmtes Integral zur Bestiramung der in 



P a , P a , . . noch willkuhrlich gebliebenen Factoren benutzt werden soil; und 

 ich bemerke hier nur noch , dass es , uni diesen Ausdruck allgemein anwendbar 



zu machen, einer Modification des Weges der Integration bedarf, wenn die 



1 

 Function unter dem Integralzeichen fiir einen der Werthe 0, 1, -, oc so 



unendlich wird, dass sie die Integration bis an denselben nicht zulasst. 



VIII. 



Zufolge der im Art. II. und dem vorigen erhaltenen Gleichungen 



p*C, i *, *) = At-*)* p u (°, it a t e/ Q > 



x 



y 



Const. A*-*) ^(3 + a + y, /3'+« + V, a — ct + i, x) 

 fliesst aus jedem Ausdrucke einer Function durch eine P-function eine Ent- 

 wicklung derselben in eine hypergeometrische Reihe, welche nach steigenden 

 Potenzen der Veranderlichen in dieser P-function fortschreitet. Nach Art. V. 

 giebt es 8 Darstellungen einer Function durch P- functionen rait derselben 



Veranderlichen, welche durch Vertauschung 



Exp 



aus einander erhalten werden, also z.B. 8 Darstellungen rait der Verand 



lichen x. Von diesen liefern ab 



Vertauschung ihi 



zweilen Paares, & und 0', aus einander enlstehen, dieselbe E 



man erhalt also vier Entwicklungen nach steigenden Potenzen von x } von 

 denen zwei, welche durch Vertauschung von y und y' aus einander erhalten 

 werden, die Function P*, die beiden andern die Function P a darstellen. 

 Diese vier Entwicklungen convergiren, solange der Modul von x<\ } und 

 divergiren, wenn er grosser als 1 ist, wahrend die vier Reihen nach fallen- 





