22 B. R IE MANN, ZUR THEORIE DER GACSS'SCHEN FUNCTION jF (o, /?, y, 4 



den Potenzen von x, welche 



und 



P 



darstellen, sich umgekehrt ver 



ist, folgt aus der 



halten. Fur den Fall, wenn der Modul von x gleich 1 

 F u r i e r'schen Reihe, dass die Reihen zu convergiren aufhoren, wenn die 

 Function fiir x = 1 unendlich von einer hohern Ordnung als der ersten wird, 

 aber convergent bleiben, wenn sie nur unendlich von einer niedrigern Ordnung 

 als 1 wird oder endlich bleibt. Es convergiren also auch in diesem Falle 

 nur die Halfte der 8 Entwicklungen nach Potenzen von x, solange der reelle 



d + 



gt, und sie convergiren 



Theil von y' — y nicht zwischen ■ — 1 ui 

 sammtlich, sobald dieses stattiindet. 



Deiunach hat man zur Darstellung einer P-function im Allgenieinen 24 

 verschiedene hypergeometrische Reihen, welche nach steigenden oder fallen- 

 den Potenzen von drei verschiedenen Grossen fortschreiten , und von denen 

 fur einen gegebenen Werth von x jedenfalls die Halfte, also zwolf conver- 



giren 



Im Falle I 



V. sind alle diese Anzahlen mit 3. im Falle II 



10, im Falle III. mit 5 zu multipliciren. Am geeignetsten zur numerischen 

 Rechnung werden von diesen Reihen meistens diejenigen sein, deren viertes 

 Element den kleinsten Modul hat. 



Was die Ausdriicke einer P-function durch bestimmte Integrale betrifft, 



die sich durch die am Schlusse 



des vorigen Art. aus den Transformationen 



d 



V. ableiten lassen, so sind diese Ausdriicke sammtlich von 



d 



verschieden. Man erhalt also im Allgenieinen 48, im Falle I. 144 



un 



Falle II. 480, im Falle III. 240 bestimmte Inte 



welche dasselbe Glied 



einer P- function darstellen und also zu 



der ein von x unabhangiges 



haben 



Von diesen lassen sich je 24, welche durch eine gerade 



Anzahl 



Vertauschung 



Exp 



ander hervorsehen , auch 



in einander transformiren durch eine solche Substitution ersten Grad 



1 



d 



rgend drei von den Werthen 0, 1, oc, — der Intesrrationsveranderlichen 



X 



die neue 



Method 



derliche die Werthe 0, 1, 00 annimmt. Die ubrigen Gleichun- 



zu ihrer Bestatigung durch 



gen erfordern, soweit ich sie untersucht 



habe, 

 der Integralrechnung die Transformation 



vielfachen Integralen 





