PRINCIP DES KLEINSTEN ZWANGES. - 
vom Punkte x nach #-+dx gezogenen Linie bedeutet also bei beliebi- 
gen dz immer einen positiven Werth annimmt. 
Die Länge einer Linie, deren Punkte durch Werthe der z,, ,..,.. 
als Functionen Einer unabhängigen Veränderlichen gegeben sind, ist gleich 
[NZ Xd, da) 
dieses Integral muss also für eine kürzeste Linie, die durch zwei feste 
Punkte, welchen die constanten Grenzwerthe des Integrals entsprechen, zu 
einem Minimum werden.  Bezeichnet die Variation ò eine beliebige Um- 
formung der Functionen z,,,.. @,.. so müssen für eine kürzeste Linie 
zwischen diesen Veründerlichen solche Relationen bestehen, dass sich òy 2 
auf ein vollständiges d Differential reducirt. Esist nun, wenn man in dem 
obigen Ausdruck D die ö Differentiation in demselben Sinne nimmt wie 
hier die Variation, 
yt- da = ا‎ — 
= VEZ OX: dz; ٠ 0 سب يتك‎ JE (X, dz,). 02, سل‎ p EX, de on, 
also dieser Ausdruck, welcher von den òx und nicht mehr von deren Dif- 
ferentialen 842 abhangt und von yT sich nur um ein totales Differen- 
tial ds unterscheidet, muss für eine kürzeste Linie verschwinden. 
Ist diese die Bahn eines frei beweglichen Massentheilchens und 
` betrachtet man bei der d Differentiation die Zeit als die einzige unabhän- 
gige Veränderliche und deren Differential df als constant, so wird YT 
gleich der Geschwindigkeit multiplieirt in dt, demnach dyZ gleich der 
Beschleunigung multiplicirt in dë, also, wenn das Massentheilchen sich 
frei ohne Einwirkung von Kräften. bewegen soll, muss nach dem Grund- 
gesetz 00/2 = 0 und zufolge der obigen Gleichung demnach auch 
10€ —d$5 = 0 
werden für jedes beliebige Werthensystem der óz,, ó2,.. 0z,... und 
unter andern auch für de, = de,, da,=da,, òx, = da, so dass 
die vorhergehende Gleichung dy = 0 als specieller Fall wieder entsteht. 
