ALLGEMEINE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FÜR DIE SUBSTITUTION. 41 
also für eine allgemeine D Differentiation 
X4 Dz, rl, De, E e 
= D(y--y,)-- Y, Dy, +Y, Dy, dedo aai DE ed 
worin Y,..Y, , Functionen von y, y, ..y,, ,, y, sind, welche in 
Folge der obigen Bedingung zwischen den y und æ die Gleichung: 
k=m—1 
2 (Dy,AY,—Ay,DY,) = 0 
ke 
erfüllen müssen. In dem speciellen Fall, dass für die D Differentiation 
alle Grössen y constant sind mit Ausnahme von y; wo 1<S/<m—1, 
und für die A Differentiation alle Grössen y constant sind mit Aus- 
nahme einmal von y und dann von y,, wird die Gleichung zu 
: 0F; 
4 
Dy, دج‎ My = 0 und Dg: 5, 59, — 0 
also für jeden Index 7 zwischen 1 und m—1 ist Y, unabhängig von y 
und von y,. Demnach ist 
Y,Dy, +Y7,Dy,+- itu co isa 
ein Differentialausdruck mit nur m—1 unabhängigen Veründerlichen und 
die Coefficienten Y,..Y, , genügen mit ihren unabhüngigen Veründer- 
lichen y, .. y,,., der entsprechenden Bedingung wie die Coefficienten 
X,...X, in dem linearen Ausdruck mit den m unabhüngigen Veründer- 
lichen x, Der Differentialausdruck mit »— 1 Gliedern kann also nach 
demselben Verfahren auch wieder in ein Differential und in einen linea- 
ren Differentialausdruck mit m— 2 unabhängigen Veränderlichen zerlegt 
werden mit entsprechender Bedingung. Durch Fortsetzung dieses Verfah- 
rens gelangt man also dazu, den linearen Ausdruck als das Differential ei- 
ner einzigen Function darzustellen: 
x, Do, 4- x, Do; o. Tx, D, an 
Bezeichnen wir die in der Anwendung dieses Satzes auf ‚unsere, Untera 
Mathem. Classe. XVIII. 
