vom 22. Juni 187 G. 33'B 



m k n 



e)=n 



sm 



. k; 



sin — 



wo die Zahlen k ein halbes Restensysteni mod, n bilden, und mit 

 Benutzung der Relationen 



. sinmu j~r . {Jnv \ . (Inv \ 

 h =1 I 2 sin ( h ^^ • 2 sin I ü ) , 



smu \* \m J \m ) 



erhält man daraus die Gleichung: 



(23) — =. 11 2 sm — + ^ . 2 sin , 



\n J ■- -*■ \m n ) \m n ) 



wo das Product auf irgend welche \Q^m — l) Zahlen // zu er- 

 strecken ist, die ein halbes Restensystem mod. m bilden und ebenso 

 auf die -^^(sn — l) Zahlen k eines halben Restensystems mod. ?i. 



Die Gleichung (53) gilt, beiläufig bemerkt, auch noch Avenn in 

 grade ist; doch sind alsdann für k nur grade Zahlen zu nehmen 

 und für /;. ist nur in einem der beiden Factoren rechts der Werth 

 \in zu setzen, während im Übrigen in beiden Factoren li irgend 

 welche \^m — 1 Werthe zu durchlaufen hat, die sowohl positiv 

 als negativ genommen mod. m unter einander und mit \m incon- 

 gruent sind. 



Aus der Gleichung (33) resultirt unmittelbar die Reciprocitäts- 

 gleichung: 



^r 



(m-l)(»-l) + i(5-lj(?-i; 



V. Setzt man l = 7'-\-mn oder l = r, je nachdem r grade 



oder ungrade ist, so ist l ungrade und das Product | — ) ( — | oder 



\mnj \ l J 



[ l \ fm\ fn\ . , . „ 



I — I l T I I 7 ) '^^^^'^ ^^"^ Potenz von — 1, deren Exponent 



