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gegebene Ausdruck, sobald m und n nicht relative Primzahlen sind, 

 und auch die unter (^[') gegebene Definition von j — j kann in 



Übereinstimmung mit dem Ausdrucke bei (5Q so gefasst werden, 

 dass sie für den Fall, wo r und n einen gemeinsamen Theiler ha- 

 ben, den Werth Null ergiebt. — Die mit (51') bezeichnete arith- 

 metische Definition des Zeichens ( — | führt ebenso wie die Defi- 







nition (?t) ganz unmittelbar zu denjenigen Eigenschaften, welche in 

 den Gleichungen (A) und (A') ausgedrückt erscheinen. Andrer- 

 seits setzt ebenso wie die Definition (23) auch die rein arithmeti- 

 sche Erklärung (^') die Reciprocitätsgleichung (B) in Evidenz. 

 Um also auch an die arithmetischen Definitionen (31') und (^') 

 die gesammte im § 1 enthaltene Deduction anknüpfen und damit 



die Theorie des Zeichens ( — ) vollständig absolviren zu können. 



•0 



bedarf es nur noch einer ebenfalls arithmetischen Herleitung der 

 einen jener beiden Definitionen aus der andern. Dies geschieht 

 wohl am einfachsten in folgender Weise: 



Nimmt man in der Definition (5t') für die Zahlen k\ k", ... 

 die ungraden Zahlen von 1 bis n — 1, so wird jedes Product km 

 dem positiven oder negativen Werthe einer der Zahlen k congruent 



« mod. ??, je nachdem die in enthaltene grösste ganze Zahl El — j 



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grade oder ungrade ist. Das Zeichen j — ) wird hiernach gleich 

 einer Potenz von — 1, deren Exponent 



ist, und diese Summe kann wegen der Relation 



^fam\ -,^f(n — a)m\ 



E[ — ]+jB(^ ^—\ = m — \ (0<rt<n) 



durch 



/'k.'m.\ 



(Ä: = l,2,...^ («-!)) 



?Kv) 



ersetzt werden. Eben dieselbe Potenz von — 1 ist aber offenbar 



das Vorzeichen des Products bei (55'), da E j - — | die Anzahl der 



\n J 



