mm 22. Juni 1876. 339 



Zahl m existirt, für welche die Gleichung | _ j = — 1 stattfindet. 



Ist erstens n^ — 1 mod. 4 , so folgt aus {ß') , dass für 



m = 2n — 1 das Zeichen ( — \ negativ wird. Wenn zweitens 



n _ 

 n^b mod. 8 ist und m = \{n-\-\) genommen wird, so ist ge- 



mäss der Gleichung (/3') 



n \ i 2m — n\ , ^-5- (m - 1) 



und also wegen («) auch 



(- !)■• 





Was drittens die Primzahlen n von der Form 8i^+l betrifft, so 

 möge angenommen werden, dass für alle, die unter n' liegen, in 

 der That zugehörige Zahlen m von der verlangten Eigenschaft 

 existiren. Es folgt alsdann aus den bisherigen Entwickelungen die 



Übereinstimmung des Zeichens I — 1 mit dem Legendre-Jacobi- 



sehen Zeichen für je zwei beliebige Zahlen m und n, die beide 

 kleiner als n' sind. Nun giebt es aber, da n' ^ 1 mod. 8 ist, 

 nach dem G aufs 'sehen Theorem (Disqu. Arithm. Sectio IV. Art. 

 129) wenigstens eine unter 2Vn' liegende Primzahl m, von wel- 

 cher n' quadratischer Nichtrest ist; für ein solches m ist daher, 

 weil beide positiven Zahlen m und n' — 2in kleiner als n' sind, 



fi 2 7n \ 



) mit dem Legendre- Jacobi'schen Zeichen identisch 



m J 



also negativ, und die Gleichung (/3) ergiebt hiernach 

 n' — 2m\ fn' 



woraus schliesslich mit Hülfe der Reciprocitätsgleichung («) 



7n\ 



folgt. Auch für die Zahl n' existirt also eine Zahl 171 von der ver- 

 langten Eigenschaft, und es ist durch diesen Inductionsschluss der 

 zu führende Nachweis vervollständigt, dass das Vorzeichen des 

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