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\ /A = l,2,...i(«i-1)\ 



j u=i,2,..4(«-i); 



mit dem Legendre- Jacobi'schen Zeichen I — 1 übereinstimmt 



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Die vorstellende Entwickelung bildet einen Beweis des Reci- 

 procitätsgesetzes, welcher seinem wesentlichen Inhalte nach derje- 

 nigen Kategorie angehört, die durch den dritten und fünften Gaufs- 

 schen Beweis bezeichnet wird. Die Entwickelung hat dabei mit 

 der des ersten Gaufs'schen Beweises den Vorzug gemein, dass 

 sie nicht über das Gebiet des zu beweisenden Satzes hinausgeht,^) 

 aber sie entlehnt dieser freilich in jenem Theorem der Disqu. Arithm. 

 (Art. 129) ihre hauptsächlichste Grundlage und wenigstens theil- 

 weise auch die Methode der Induction. Natürlich kann auch der 

 dritte und fünfte Gaufs'sche Beweis selbst sowie jeder, der eben 

 derselben Kategorie angehört, in der "Weise der obigen Entwicke- 

 lung umgestaltet und von der Herbeiziehung des Lemma Art. 106 

 der Disqu. Arithm. befreit werden. So würde, um an den fünften 

 Gaufs'schen Beweis 2) anzuknüpfen, von dessen Art. 1 gänzlich 

 abzusehen und nur der Inhalt des Art. 2 zu benutzen sein, in 

 welchem nachgewiesen ist, dass die oben mit («) bezeichnete Re- 

 ciprocitätsgleichung stattfindet, wenn für irgend zwei relative Prim- 



f 'iTl \ 



zahlen m,n das Zeichen 1- j als das Product der Vorzeichen er- 

 klärt wird, welche die positiven oder negativen absolut kleinsten 

 Reste der Zahlen 



m , 2 TO , 3 ra , ... ^{n — l)m 



f tTlX 



mod. n haben. Da aus dieser Definition des Zeichens I — | auch 



ganz unmittelbar die Gleichungen {ß) , {ß') , {y) folgen, so sind 

 alle Mittel gegeben, um in der oben ausgeführten Weise die Über- 

 einstimmung von 1 — I mit dem Legendre- Jacobi'schen Zeichen 



1) Man vergleiche die Einleitung zu der D iri chl et'schen Abhandlung 

 im 47. Bande des Crelle'schen Journals S. 139. 

 -') Gaufs' Werke, Bd. II. S. 51 bis 54. 



