612 Gesammtsitzung 



1, Der auf 4 Elemente bezügliche Algorithmus, mit welchem 

 ich vor 18 Jahren beschäftigt war, wird auf folgende Weise er- 

 halten: 



Es seien a, &, c, e vier reelle positive nach ihrer Grösse in 

 absteigender Reihe geordnete Quantitäten, welche der Ungleichheit 

 a — h — c+e>0 genügen. Man bilde erstens das arithmetische 

 Mittel aus den vier Elementen, zweitens ordne man die vier Ele- 

 mente auf die drei möglichen Arten in zwei Paare, nehme aus je- 

 dem Paar das geometrische Mittel und aus den beiden zusammen- 

 gehörigen geometrischen Mitteln das arithmetische Mittel, so hat 

 man aus den gegebenen Elementen a, h, c, e vier Functionen der- 

 selben üi, &i, Ci, ei hergeleitet, welche durch die Gleichungen 



( öj = !(«-+-& + c + e) 

 c, = ^l(V^c+Vbe) 



(1) 



gegeben sind. Eine Vertauschung von a, b, c, e unter einander 

 führt nur zu einer Vertauschung der Grössen &i, Cj , e^ unter ein- 

 ander. 



Die Analogie dieses Algorithmus mit demjenigen, welcher zu 

 dem arithmetisch-geometrischen Mittel aus zwei Grössen führt, tritt 

 zwar schon in diesen Gleichungen hervor, noch evidenter wird sie 

 vielleicht in einer anderen Form der Darstellung. Wie nämlich 

 die Gleichungen 



öj = |-(a + ft) , bi = Vab 



des arithmetisch-geometrischen Mittels aus Ö Elementen sich in die 

 eine Gleichung 



2 («1 + 2^*1) = iVa-\-sVby 



zusammenfassen lassen, wenn in ihr dem s der doppelte Werth 

 £ = =b 1 beigelegt wird, so lassen sich die Gleichungen (1) in die 

 eine Gleichung 



(2) 4(ai-+-£&: + £'ci-i-£s'ea) = (Va-hsVb + s'Vc-hss'Vey 



