vom 2. November 1876. Gl 3 



zusammenfassen, wenn in ihr jeder der Grössee £, s' der doppelte 

 "Werth £ = ±l,£'=±l beigelegt wird. 



Man wende den Algorithmus (1) wiederholt an, leite also 

 aus tti, &i, Ci, 01 vier neue Grössen 03, io, c-y, e<, her, welche von 

 ßi, ^1, Ci, «1 ebenso abhangen wie diese von a, &, c, e u. s. w. 

 und erhalte nach ?unaliger Wiederholung der nämlichen Operation 

 die Grössen a.„, &,j, c„, e„. Dann nähern sich mit wachsendem n 

 alle vier Grössen «„, &„ , c,j , e„ der nämlichen Grenze g. Man be- 

 weist nämlich, dass die Differenz a — e zwischen der grössten und 

 kleinsten der vier Grössen bei jeder Operation auf weniger als die 

 Hälfte ihres früheren Werthes herabsinkt, sodass 



öl — ßi < ^ (a — c) , Ö2 — % < i" (ö'i — ßi) etc. 



und daher 



woraus für w = 00 

 folgt. 



«« — ß« < ^ (« — ^) ' 



^« = c„ = e = ^r 



Im Fall des arithmetisch-geometrischen Mittels aus zwei Ele- 

 menten gewinnt der Algorithmus an Übersichtlichkeit, wenn man 

 zu den beiden Grössen Uy = ^(a + 5) , t^ = '^ ah noch eine dritte 

 Grösse l)\ = -^ (a — h) hinzufügt, welche, in die coordinirten 

 Grössen aj , &, ausgedrückt den Werth &J = '^ d{ — h\ erhält. Wenn 

 man in allen Stufen der Operation die gleich gebildete Grösse hin- 

 zufügt, so muss man den gegebenen Elementen a , h die Quadrat- 

 wurzel b' = Va"^ — b' adjungiren. 



Dem entsprechend hat man im Fall von vier Elementen zu 

 den vier durch den Algorithmus (1) definirten Grössen ai,öi,Ci,ei 

 sechs neue Grössen b[ , c[ ., e[ und b[\ cj', e[' hinzuzufügen, welche 

 in ihrer Zusammensetzung von den Grössen (1) nur durch die 

 Vorzeichen unterschieden und durch die Gleichungen 



= i(a-hb~c~e) , b[' = ^(V^ — V^) 

 == i(a— 5 +c — e) , c[' = ^(y^c—Vire) 

 = I (a — & — c -4- e) , e[' =^^ (V^ — Vbc) 



gegeben sind. Wenn man diese Grössen durch die coordinirten 



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