614 GesammtsHzung 



Grössen «i , Z>i , Cj , ßj ausdrückt und in allen Stufen der Operation 

 die gleich gebildeten Grössen hinzufügt, so gelangt man für die 

 sechs den gegebenen Elementen a, ?), c, e zu adjungirenden Grös- 

 sen b', c', e' und b", c", e" zu folgenden Werthen: 



I h' = -1- (Vah + V7e) , b" = ^ (Väh — l^re) , 

 (?,) •: c' = -l(Väc-hVU) , c" = i-O^^ — ^^^) ' 



e' = J (]/^ + VU) , e" = -I (Vä'z — VVc) , 



in welchen 



L 

 I 



(3*) I 



( a == a -h b -\- c -h e 



h = a ->r b — c — e 



c = a — h -+- c — e 



l c = a — b — c + e. 



Es ist bemerkenswerth, dass in den Quadraten dieser sechs ad- 

 jungii'ten Grössen nur die eine Irrationalität l'aBce vorkommt. 



2. Die oben als Grenze des unendlich oft wiederholten Al- 

 gorithmus (1) definirte Grösse g ist eine bestimmte analytische 

 Function der vier Elemente a, b, c, e, welche erstens der Functio- 

 nalgleichung 



„I a-hb-j-c-he Vab-hVce i ac-\-'^be Vae-hVbc' 



a,b,c,e) =// 



genügt, zweitens eine homogene Function erster Ordnung der vier 

 Elemente ist, und drittens, wenn die vier Elemente in einen Werth 

 a zusammenfallen, dem nämlichen Werthe a gleich wird. Umge- 

 kehrt definiren diese drei Bedingungen die Grenze g vollständig. 

 Der Functionalgleichung genügt nämlich nicht allein g, sondern 

 ebensowohl jede Function von g, und umgekehrt ist jede der Func- 

 tionalgleichung genügende Function/ der vier Elemente a,b,c,e 

 eine blosse Function von g. Soll überdies / eine homogene Func- 

 tion erster Ordnung der vier Elemente sein, so ist /= m.^, wo 

 m einen willkürlichen numerischen Factor bedeutet, welcher durch 

 die dritte Bedingung der Einheit gleich bestimmt wird. 



Anstatt g als Function der Elemente a, b, c, e durch die 

 Functionalgleichung (4) und die hinzugefügten Nebenbedingungen 



