vom 2. November 1876. 615 



zu bestimmen, kann man g auch durch ein System von Differen- 

 tialgleichungen definiren, ebenso wie dies in meiner Abhandlung 

 über das arithmetisch -geometrisclie Mittel aus zwei Elementen i) für 

 dieses geschehen ist. Um die entsprechenden Resultate besser mit 

 einander vergleichen zu können, fange ich damit an, für den Fall 

 von zwei 'Elementen das Ergebniss in einer etwas veränderten 

 Form auszusprechen. 



Es sei g das arithmetisch -geometrische Mittel aus zwei Ele- 

 menten a.b: dann ist — eine homogene Function nullter Ordnung 

 a 



von a, b. Führt man für das Verhältniss der beiden Elemente a, b 

 eine neue Variable 



b 



P = ~ 



a 



ein, sodass — lediglich von j} abhängt, und setzt 

 a 



(5) dlg^ = Pdlgp, 



eine Gleichung, welche P durch Differentiation aus g herleiten 

 lehrt, so lässt sich das iu meiner oben citirten Abhandlung vom 

 Jahre 1858 gegebene Resultat in folgender Form aussprechen: 

 Die Function P von ^7 genügt einer Differentialgleichung erster 

 Ordnung und zweiten Grades, sodass dP einem in cZlgp multipli- 

 cirten ganzen Ausdruck zweiten Grades in P gleich wird, dessen 

 Coefficienten rationale Functionen von p sind. Vermöge dieser 

 Differentialgleichung, welche P als Function von p definirt, und 

 einer nach Gleichung (5) auszuführenden Quadratur gelangt man 

 zu der Grenze g. 



Für das arithmetisch-geometrische Mittel g aus vier Elemen- 

 ten a,b,c,e lautet das entsprechende Ergebniss folgendermas- 

 sen: 



Aus den vier Elementen und den sechs in Art. 1 denselben 

 adjungirten Grössen bilde man die drei Variabein: 



1) Journal f. Mathematik Bd. 58 p. 131, 132 Gl. (9, 10). 



