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Gesammtsitzung 



(6) 



eb" 

 bc" 



^^ = 77 = 





e 



Vab — Vce 



c 



l^ab + Vce 



b 



V^c - Vü 



e 



Väc + Vü 



c 



1/^ — VBc 



Z/e' 6 l/ae+ fbc 



wo a,b,C,e die in (3*) eingeführten Hülfsgrössen sind, sodass 



— eine homogene Function nullter Ordnung von a,b,c,e ist, also 

 a 



lediglich von p, q, 7- abhängt; man setze 



(7) 





Pdlgp + Qd\gq + RcUgr 



eine Gleichung, welche P, Q, R als partielle Differentialquotienten 

 von g bestimmt, alsdann genügen P, Q, B drei simultanen totalen 

 Differentialgleichungen erster Ordnnng und zweiten Grades, sodass 

 jedes der Differentiale dP, dQ, dB einem in dlgp , dlgq, d\gr 

 homogenen linearen, in P, Q, B ganzen Ausdruck zweiter Ordnung 

 gleich wird, dessen Coefficienten rationale Functionen von p, q, r 

 sind. 



Vermöge dieses Systems totaler Differentialgleichungen, wel- 

 che P, Q, B als Functionen von p, q, r definiren und einer nach 

 Gleichung (7) auszuführenden Quadratur gelangt man zu der 

 Grenze g. 



3. Die ursprünglich als Grenze des unendlich oft wiederholten 

 Algorithmus (1) erklärte und dann durch das soeben characterisirte 

 System von Differentialgleichungen als analytische Function der 

 Elemente «, &, c, e definirte Grösse g ist andrerseits durch hyper- 

 elliptische Integrale ausdrückbar. Aber der Übergang von den 

 Differentialgleichungen zu den Integralen, welcher im Fall des 

 arithmetisch- geometrischen Mittels aus zwei Elementen durch un- 

 sere genaue Kenntniss der hypergeometrischen Functionen vermit- 

 telt wird, bietet im vorliegenden Fall nicht unerhebliche Schwierig- 

 keiten dar. 



Auch hier ist es der reciproke Werth der Grenze </, welcher 

 durch complete Integrale darstellbar ist. Man kann nämlich aus 



