618 Gesammtsitzung 



' ..' j i.i'jiji\-i 



Ä = (abce h'c'e' b"c"e") 

 ^^^ I acb' cc'e' ac"e' b'c'c" 



«0 



1 «1 = ; ? "2 == ,^ — ■> «3 



A A - A A 



(9) ß (x) = x{x — «o) {x — «i) {x — «2) (■^' — "3) ? 

 dann ist 



^ ^ J J VB(x)B(x') 



4. Das so eben ausgesprochene Ergebniss, welches der be- 

 kannten Bestimmung des arithmetisch -geometrischen Mittels aus 

 zwei Elementen genau entspricht, lässt sich, wenn man nicht den 

 oben gegebenen Algorithmus sondern die Weierstrafs'sche Theorie 

 der hyperelliptischen Integrale und der damit verbundenen Theta- 

 functionen zum Ausgangspunkt der Untersuchung macht, auf einem 

 verhältnissmässig elementaren Wege begründen. 



Es giebt in der Theorie der hyperelliptischen Functionen mit 

 4 Perioden 4 verschiedene reelle complete Integrale, die sich theils 

 nach ihren Grenzen, theils nach den Zählern unterscheiden, mit 

 welchen multiplicirt der unter dem Integral stehende reciproke 

 Werth der Quadratwurzel aus der Function fünften Grades B (x) 

 vorkommt. Bei jeder Transformation geht jedes dieser 4 comple- 

 ten Integrale in eine Summe zweier Integrale über, und es giebt, 

 solange man bei der Betrachtung einfacher Integrale stehen bleibt, 

 keine Function, welche, selbst wenn man von einem hinzutretenden 

 Factor absieht, in sich selbst zurückkehrt. Eine solche bei der 

 Transformation in sich selbst zurückkehrende Function erhält man 

 erst in der Determinante aus den 4 completen Integralen oder, 

 was dasselbe ist, in dem obigen Doppelintegral, und es ergiebt 

 sich erst auf diese Weise dasjenige, was für die hyperelliptischen 

 Functionen mit 4 Perioden dem arithmetisch - geometrischen Mittel 

 der elliptischen Functionen entspricht. 



Die Bestimmung des arithmetisch -geometrischen Mittels aus 

 vier Elementen kann daher aus der Transformation zweiter Ord- 

 nung der hyperelliptischen Functionen mit 4 Perioden hergeleitet 

 werden, wenn man erstens dieselbe auf die aus den 4 reellen com- 



