vom 2. November 1876. 619 



pleten Integralen gebildete Determinante anwendet und zweitens 

 als Integral-Moduln, anstatt der von Richelot als solche betrach- 

 teten Grössen, die Verhältnisse der Quadrate der NuUwerthe^) 

 derjenigen vier Thetafunctionen einführt, welche aus dem Haupt- 

 Theta durch Änderung der Argumente um Hälften der reellen Pe- 

 rioden hervorgehen. Setzt man nämlich die mit g multiplicirten 

 Quadrate der Nullwerthe der bezeichneten vier Sfunctionen gleich 

 a, b, c, e und die mit g multiplicirten Quadrate der Nullwerthe der 

 entsprechenden transformirten -S'functionen^) gleich ai, b^, c^, e^, 

 so bestehen zwischen diesen beiden Reihen von je vier Grössen 

 die vier Relationen, welche bereits oben in die eine Gleichung 



4:(a,-hsb,-\-s'c,-i-ss'e,) = (]/ä-\- sVb-i-a'V7+ aa'Ve)" 

 zusammengefasst worden sind. 



5. Der Algorithmus, welcher den Gegenstand dieser Mitthei- 

 lung bildet, kann auf jede Anzahl von Elementen ausgedehnt wer- 

 den, welche eine Potenz von 2 ist. Aber nur für die erste und 

 zweite Potenz von 2, d. h. für 2 und 4 Elemente, in welchen 

 Fällen man auf elliptische und hyperelliptische Functionen mit 4 

 Perioden geführt wird, hat der Algorithmus die wichtige Eigen- 

 schaft^ dass die Elemente unter einander vertauscht werden kön- 

 nen, ohne dass der Algorithmus ein verändertes Resultat ergiebt. 

 Wenn man diese Eigenschaft von dem Algorithmus fordert, so ist 

 daher mit der Ausdehnung auf 4 Elemente die überhaupt mögliche 

 Ausdehnung erschöpft. Der Name des arithmetisch -geometrischen 

 Mittels ist auf die weiteren Ausdehnungen nicht mehr anwendbar, 

 da bereits für 8 Elemente der Algorithmus einen bestimmten Sinn 

 nur dann hat, wenn man eine bestimmte Reihenfolge der Elemente 

 vorher festgesetzt hat. 



Für eine Anzahl von 2 ^ positiven reellen Elementen kann man 

 den analogen Algorithmus ebenfalls durch eine Gleichuns; defini- 



1) d. h. der Werthe, welche man erhält, wenn man beide Argumente 

 verschwinden lässt. 



-) d. h. derjenigen, in welchen r^, r^o, r^o durch 2 7n, 2ri2, 2^22 er- 

 setzt sind. 



