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Nun werde gesetzt 



SO lässt sich, wenn iiii ^ m-^ . .. m^. beliebige reelle Grössen sind, 

 der Ausdrnck 



/5 = i 



stets auf die Form 





in der Art bringen, dass m\ , ml . . . m',. die eben angegebenen Be- 

 dingungen erfüllen und zugleich i'j , co... v^ ganze Zahlen werden; 

 was aus den zu befriedigenden Gleichungen 



nij. = v^m'^p + m'j. , 



u. s. w. 



tili = 1^1 ??i'/' H- i'^, ?;4'* + ••• + t'r»<i'"-' + ?«J- 



unmittelbar ersichtlich ist. Wenn aber 



ein Perioden-System ist, so ist auch 



( 5 m J2 P/ ^^ , im';iPk^^ X 7« 3 Pf^) 



£in solches, und es müssen daher m\^m\...m\ sämmtlich gleich 

 Null sein. Man hat also 



d. h. die definirten Periodensysteme 



\P\\ 1 Pn • • • Pn\) \P\r > P".r • ' • "nr) 



