vom 9. November 1876. 685 



sind so beschaffen, dass sich aas ihnen alle übrigen auf 

 die oben angegebene Weise ableiten lassen; w. z. b. w. 



2. 



Es fragt sich nun, wie eine periodische Function beschaffen 

 sein muss, damit die Voraussetzung, auf welcher der vorstehende 

 Beweis beruht, zulässig sei. 



Zunächst ergiebt sich, dass dieselbe gleichbedeutend ist mit 

 der Annahme, dass die Function kein System unendlich 

 kleiner Perioden besitze. 



Man setze 



Pa = P« + iPn+a , (« = 1 - ») 



wo Pa ? Pn-vct reelle Grössen bedeuten, und nehme an, es lasse sich 

 eine positive Grösse k so bestimmen, dass in jedem Perioden-System 

 wenigstens eine der Grössen j)^ -, 2h ••' P^n ^'^^^^ absoluten Betrage 

 nach grösser als k ist. 



Wenn man dann 2n ganze Zahlen 



willkürlich annimmt, so kann es höchstens ein Perioden-System 

 geben, in welchem die Grössen 2^i ■> P-^ • • • P-jn ^'^^ Bedingungen 



uxk^2^}^-^u^k-\-k (X = 1 ... 2 m) 



genügen. Denn angenommen, es sei 



(P'i + «K+i 5 P2 + «Pn+2 , ■■■ Pn + iPin) 



ein solcheS;, und (q^ , q^ ... q^n) ein beliebiges System von 2n Grössen, 

 welche ebenfalls die Bedingungen 



vy^k^q^ -^v.^k + k {Xr=l...2n) 



erfüllen, so ist, wenn man 



?x = P'k H- k^ , 

 setzt, k-)^ dem absoluten Betrage nach kleiner als k, und deshalb 



{k, + ^7c„+l , ^2 + «^"«+2 , ••• ^'k + ik-n) 

 kein Perioden- System ; woraus folgt, dass auch 



kein solches ist. 



