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Nun sei g eine willkürlich angenommene positive Grösse, so 

 giebt es nur eine endliclie Anzahl solcher Zahlsysteme {v-^^v^ — f-ij^, 

 für welche 



Vi Je , i'ok ... i'oyi Je 



sämmtlich zwischen den Grenzen g. — g liegen; es existirt also 

 auch nur eine endliche Anzahl von Perioden-Systemen, für welche 

 jede der Grössen -p-,^ ihrem absoluten Betrage nach kleiner als g ist. 



Ich will jetzt annehmen, die betrachtete periodische Function 

 <f (ui , ti-2 • • • Un) ^^i eindeutig, und nachweisen, dass dieselbe dann 

 ein System unendlich kleiner Perioden nur in dem Fall besitzt, wo 

 sie sich als Function von weniger als n Argumenten, welche lineare 

 Functionen von Ui , ih . . . u^ sind, darstellen lässt. 



Es seien Vi,V2...v,n lineare Functionen von Ui^ii2---u^, und 

 m < n, so können ?i Grössen P^ , P., . . . P,^^ so bestimmt werden, 

 dass üj , ?J2 • ■ • f^in sich nicht ändern, wenn man Ui + Pi. MoH-Po ••• 

 . . . ?(^j + P^ für Wi , Uo ... M,^ setzt. Im Falle, dass sich cp als Function 

 von Vi , v-> ... t'„j ausdrücken lässt, ist also 



q)(ui + Pi, u-i + P, ... u^ -{- PJ = cp (ui ,u.i, ... uj. 



Man kann aber (?i — m) der Grössen P beliebig annehmen, und 

 giebt man diesen unendlich kleine Werthe, so werden die übrigen 

 ebenfalls unendlich klein. Es besitzt also 93 (wj , Mo . . . m,J Systeme 

 unendlich kleiner Perioden. 



Bezeichnet man qp als Function von Vi , v.. . . . v„^ betrachtet mit 

 ^, so hat man 



1^= 5 ^3J!^. («=1...«,) 



es bestehen also zwischen den partiellen Ableitungen von 93, von 

 denen jetzt die «te mit qi («i , »2 • • • ^*n)« bezeichnet werden möge, 

 (n — m) Gleichungen von der Form 



n 



S c^cp(ui, U^ ... tij„ = , 

 a = l 



WO Ci , C2 ... c„ Constanten bezeichnen, welche nicht sämmtlich gleich 

 Null sind. 



Dagegen findet, wenn die Function qo nicht die besondere 

 Eigenschaft besitzt, sich auf die angegebene Weise in eine Funq- 



