vo7n 9. November 1876. 691 



Umgekehrt haben diese Functionen die in Rede stehende Be- 

 schaffenheit, wenn für irgend ein System constanter Grössen Ci,C2...c„, 

 die nicht sämmtlich gleich Null sind, die Gleichungen {B) bestehen. 

 Denn dann ist 



9/„ («1 4- Ci ? , M2 + ^2^ . . . M„ + C„ t) 



dt 



= 0, 



also fi^ («1 + Cit , u.;, + C2t ... H„ + c^t) von t unabhängig, und es 

 gelten somit die Gleichungen (.4). Setzt man aber in den letzteren 



^ = — — 



wo X so zu wählen ist, dass c^ nicht den Werth Null hat, so er- 

 giebt sich 



/„ (U,,U.,... Uj = /„ (ri , Wo • • • Vn) 5 (a = 1 . . . «0 



wo 



Va = ^a ■^'X 5 ^X = . 



Nun ist aber, damit (p {ui , u^ ... i<„) als Function von («— l) linear 

 durch Ui,U2...u^^ ausdrückbaren Argumenten betrachtet werden 

 könne, nothvvendig und hinreichend, dass sich /^{itx ., u^ .. . u^ .. . 

 ... f„^{ui,u.2...UjJ sämmtlich als Functionen derselben (n — l) 

 Grössen darstellen lassen. Wenn also, wie in dem zu beweisen- 

 den Satze angenommen wird, cp (ti^ , 11-2 ... it^^) die angegebene be- 

 sondere Beschaffenheit nicht besitzt, so ist es unmöglich, dass für 

 irgend ein System constanter Grössen (cj , C2 ... c,„), wofern nicht 

 jede von ihnen den Werth Null hat, die m Functionen 



n 



WO f,j,(ui ... !(„)„ die erste Ableitung von f^^iiii., lu... u„) nach u^ 

 bedeutet, alle identisch gleich Null sind. Daraus lässt sich fol- 

 gern, dass man n nicht singulare Werthsysteme 



und n ganze Zahlen /^i , ij.^ ... f^„, von denen jede einen der Wer- 

 the l,2...m hat, so auswählen kann, dass die Determinante 



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