SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 33 



si posson scrivere, sostituendo alle derivate rispetto a t quelle rispetto al- 

 l'arco s 



ossia 



/ . d*x dv dx -^ 



ds* di ds 



d-z dv dz r, 



d«* a» ds 



dv 

 Eliminando tra queste equazioni v — si ha 



. d*a; 



r3ì« '^^ 



•X 



V^ 



^y Y v^ ^'^ - 



ds* ^ ds» 



-z 







^"^^ dx 

 da 







dy dz 

 ds ds 





eliminando v* 















? z 



dz „ 





dz ^ dx 2 

 ds ds 



dz d^x dx d^z 



dx y 



ds 



dy 

 ds 



X 



^ ' dy d*z 



dz d'-y 



dx d*y 



dy 



d*x 



ds ds* 



ds ds 





ds ds^ ds ds* 



ds ds* 



ds 



ds^ 



11 valor comune di questi rapporti è u*; ma per un noto teorema il suo 

 quadrato è anche dato da 



r/dar\» /dy\* / dz \ «T C/d^x \* /d^y y / d^zx H / dx d*x dy d^y dz d*x\ 

 W~d7) '^Vds'/ "^'."ds"/ J iXàà*') '^\d^) "^V"d5*/ J \ ds ds* '^'dT d^'^li ds*) 



che per essere 



Ciorfl<il« di Scienze !fat. ed Econ., Voi. XIV. 



