34 SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 



dx d^x dy d^y dz dH ^ 



ds ds'^ ds ds^ ds ds^ 



8i riduce a 



dx ^ dy rj dz v 2 



X* + P + Z^ - (X ^ + Y ^ + Z ^)^ 



r/d^a;\2 /d^y \ 2 /dH N^T 



11 numeratore è il quadrato della componente normale F„ e il denomi- 

 itore è eguale a -^; il valor comune dei i" 

 me doveva ritrovarsi in virtù della relazione 



natore è eguale a -^; il valor comune dei rapporti (4)" è quindi F„. p, co- 







F - '' 







Dalle (2)« possiamo invece 



eliminare v^, il che dà 





dv dx 

 /K\« ds ds 



- X V 



dv dy y 

 ds ds 



dv dz 

 ds ds 



z 



^°J d'^x 

 ds^ 





d^y 

 ds^ 



d^z 

 ds* 





e eliminando ancora v — — 



OS 









d^z 

 (6Y ^'" 



7 d'y 

 ^ ds^ 



„ d^x ^ d^z 

 ^ ds^ ^ ds^ ■ 

 dz d^x dx dH 



^ ds^ 



ds^ 



"^^^ dy d^z 



dz d^y 



dx d^y 



dy d^x 



ds ds^ 



ds ds'^ 



ds ds^ ds ds^ 



ds ds^ 



ds ds« 



Il valor comune di questi rapporti è v -j- ; ma come precedentemente 

 si vede che il suo quadrato è anche espresso da 



( X ~ -^ Y ^ -i- 7 ^\ 

 X2 + Y« + Z' — ^ d^' ds' ds' ' 



(d^X \ 2 / d^y V 2 y d^z -v * 



ds^) "^ \ d^) "^ V d^) 



che è eguale al quadrato della componente tangenziale Fj , come doveva 

 accadere in virtìi della relazione 



(7)« 









-n dv 







liuando 



le (4)« e 



(6)« 



si ha anche 







Y dz 

 ds 



7 dy 

 ^ ds 





ds ds 



X '/ 



ds 



Y ^^ 

 ds 



d^z 

 ds-^ 



rj d^y 

 ^ ds^ 





z f : X f , ~ 



ds^ ds* 





y d*X 



ds* 



