SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 35 



Il valor comune dei rapporti [ly è 



tfn -r- 



— p = — dv 



^' UT 



Se le forze F ammettono una funzion di forza U, e Uo v» sono i valori 

 iniziali di U e v, indicando con h la costante delle forze vive, si ha 



V, V- - V, Vo^ = U - U.. 

 V- = lu + h. 

 h = Vo^ — 2 Mo- 

 li valor comune dei rapporti (4)* (6)« (7)^ è allora rispettivamente 



2u -+- h, -^— , du 



ds ' -rr- 



§2. 



Le equazioni differenziali della brachistocrona corrispondente alla forza 

 F sono (*). 



dt \ v^ dt) ~^ v^ ~ 



(l)b I ± (±. ÈL) ^ .^ =, 



^ ' l dt \v^ dt / ^ v^ " 



d / i dz \ Z ^ 



'df \1^ ~df) '^ "^ ~ ^ 



Sostituendo alle derivazioni rispetto a t quelle rispetto a s si può scri- 

 vere 



, d''x dv dx ^ „ 



ds^ ds ds 



«" -^- 



^ f t + Y =. 



ds ds 









^ ds^ 



dv dz „ 

 ds ds 







- 



Eliminando v -^ 

 ds 









, d^X ^-r 



^ ds^ + ^ 



«'^ + Y 



. 



ds* 



^^-' dx 



dy 



dz 



ds 



<7« 





ds 



(*) Battaglini. Meccanica razionale. Tomo I, p. 402. 



