36 SULLE RELAZIONI FRA. LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 



e eliminando ancora v* 





f Z 



^ 



* X 



- f z 



dx y 



dy ^ 



(4)' 



ds 

 dy d^z 



ds 



dz d*y 



ds 

 ~ di d*x 



ds 



dx d*i 



ds 

 ~ dx d*y 



ds ^ 

 dy d*x 



ds ds^ ds ds* ds ds* ds ds* ds ds* ds ds* 



Il valor comune di questi rapporti è — v*, ma per quel che precede è 

 anche pF„, dunque nelle brachistocrone 







F" = - p 







Eliminando v* 







■ 





dv dx V 



^ -^ — ^ •^ 



ds ds 



= 



dv dy -^ 

 "" ds ds ^ 



dv di 

 ds ds 



— z 



^^) d*x 

 ds* 



d*y 

 dt* 



dH 

 da* 





ed eliminando ancora 



V 



dv 

 ds 







Y «^^ 7 ^'tf 



^^) dy d^z dz d'y 



=z 



rj dtx ^ d*x 

 ^ ds* ^ ds* 



dz d^x dx d^i 



^ ds* ~ 

 ~ dx d*y 



d*X 



ds* 

 dy d*x 



ds ds' ds ds* ds ds* ds ds* ds ds* ds da- 



Combinando le (4)'' colle (6f 



b 



Y -~ 



ds 



rj dy 

 ^ ds 



ds 



^ ds 



X f 



ds 



Y ^^ 

 * da 



dH 

 ds* 



rj d^y — 

 ^ ds* 



rj d*X 



^ da* 



d*z 

 ^ds* 



ds* 



yd*X 



ds* 



(^) 



Il valor comune dei rapporti (6)^ è v -j-, ma per quel che precede, esso 

 è anche F^ , dunque per le brachistocrone è 



r. dv 



^' = ^-d7 



come è naturale , essendo introdotta dalla resistenza della curva soltanto 

 una componente normale. 



Si noti la identità delle (4)« (5)» (6)« (7)» colle (4)" (5)" [òf (7)" e la stretta 

 affinità delle (2)0 (3)- colle (2)^ (3)^. 



Cerchiamo adesso quale è la forza F' capace di far percorrere al punto 

 M la brachistocrona, quando M fosse libero, introducendo la condizione che 

 la velocità di M in ogni punto debba essere ancora eguale a quella che 

 aveva quando era costretto a percorrere la brachistocrona stessa. Chiamando 

 X' Y' Z' le componenti di F' dovremo avere per le (2)« 



