SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 37 



•2 <^^ . 



^ ds* ^- 



dv 

 ds 



da; 

 ds 



= X' 



, d'y 



dv 

 ds 



dy 

 ds 



= Y' 







dz 

 ds 



— Z' 



e confrontando con le (2)^ si vede che 



Z = — Z + 2y -r- -T- 



05 Off 



F' è dunque la risultante di due forze , una eguale ed opposta a F , e 

 un'altra, le cui componenti sono 



2v — i^ 2v — — 2u — -^ 



ds ds ds ds ds ds 



cioè una forza 2v -r- diretta secondo la tangente alla curva. Decomponen- 

 do — F nella componente tangenziale — F( e nella componente normale 

 — F„, si vede che essendo la prima eguale a v-r-, F'ha per componente 



tangenziale + F( e per componente normale — F„. 



Si ha quindi : 



La brachistocrona corrispondente alla forza F è traiettoria libera per 

 una forza F' eguale a F e posta simmetricamente a F rispetto alla tan- 

 gente della curva. La velocità del moto libero sotto l'azione della forza F' 

 e la velocità del moto sidla brachistocrona sotto V azione della forza F 

 sono eguali in ogni punto. 



Di qui si rileva immediatamente che le componenti tangenziale e nor- 

 male di F sono per la brachistocrona 



^' - -dT F« = - — ; 



ammettendo invece come noto questo risultato, si può stabilire subito il teo- 

 rema precedente. 



Questo teorema è evidentemente invertibile, ossia : 



La traiettoria di un punto libero M sotto V azione di una forsa F' è 

 brachistocrona corrispondente all'azione di una forza F eguale a F e pò- 



