SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 39 



e eliminando ancora ■^- 



as 



(6)' 



d'-z 

 ds-^ 



^ ds^ 



z 



d'x 

 dsì 



V d-z 

 ^ ds^. 



ds^ 



y d'-x 

 ds"- 



dy dH 

 ds ds^ 



dz d^ìj 

 ds ds- 



dz 

 ds 



d'-x 

 ds'' 



dx d'-z 

 ds ds^ 



~ dx d'-y 

 ds ds-^ 



dy d'^x 

 ds ds-i 



dT 



11 valor comune di questi rapporti è — , da cui 



^' - - ^- 



^ dz ry dy ry dir -^ dz -S7 dy ^ dx 



1 -3 — Zi —J— Li — ; — A. — ; — A. — ^ — 1 -3 — 



ds ds ds ds ds ds 



Combinando le (4)° e (6) 

 (7)' 



Y ^ y dry_ ry <Px_ _ „ d^ ^ ^ __ y d^ . 



ds^ ds^ ds^- ds^ ds-i ds^ 



Le (4)° (6y (7)° sono ancora identiche colle (4)» (6)" (7/ e (4)" (6)" (7)^, e 

 le (2)' (Sy {by hanno colle (2)=' (3)" (5)- e (2)" (3)^ (5)" una stretta affinità. 



Proponiamoci ora per le funicolari la identica questione che abbiamo ri- 

 solto nel precedente paragrafo per le brachistocrone, trovare cioè la forza 

 F' (X' Y' Z') per cui la funicolare è traiettoria libera di un punto, quando 

 si pone la condizione che la velocità di questo moto libero debba essere 

 eguale in ogni punto alla tensione del filo. Avremo allora per le (2)" scri- 

 vendo T invece di v 



X2 — + T — — = X' 



ds'^ ds ds 



'J'2 



d'y 

 ds^ 



4- 



^ ds 



dy 

 ds 



— Y' 



rji2 



d?z 

 ds^ 



4- 



rj, dT 

 ds 



dz 

 ds 



— Z' 



e confrontando colle 



{2y 





X 



t 



— 



TX: 



= — 



■ vX 



Y' 



— 



— 



TY : 



z= 



■ vY 



Z' 





__ 



TZ = 



= — 



vZ. 



La forza F' è quindi parallela a F, diretta in senso contrario , e eguale 

 a F moltiplicata per la tensione del filo. 



Se fosse invece data la traiettoria , che un punto descrive liberamente 

 sotto l'azione della forza F', e si volesse cercare per qual forza F questa 

 curva sarebbe funicolare colla condizione che la tensione del filo sia in ogni 

 punto eguale alla velocità v del mobile, otterremmo analogamente 



