40 SULLE RELAZIONI FRA. LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 



Y' Y' 



v~ ~ T~ 



V T 



cioè la forza F è parallela a F', diretta in senso contrario, e eguale a F' 

 divisa per la velocità v del punto. 



Ritroviamo così i teoremi già dati da Mobius (*). 



La funicolare corrispondente a una forza F è la traiettoria libera di 

 un punto di massa 1 sollecitato da una forza parallela a F , diretta in 

 senso contrario ed eguale alla forza F moltiplicata per la velocità v del 

 punto. 



La traiettoria libera di un punto di massa 1 sollecitato dalla forza F, 

 è funicolare per una forza F parallela a F, diretta in senso contrario, 

 ed eguale a F' divisa per la tensione del filo. 



La velocità del mobile e la tensione del filo in ogni punto sono eguali 

 tra loro. 



§4. 



Combinando questi teoremi con quelli del § 2 si ha inoltre : 



La funicolare corrispondente alla forza F è brachistocrona per una forza 

 F' disposta simmetricamente a F rispetto alla normale della curva ed 

 eguale alla forza F m,oltiplicata per la velocità del punto. 



La brachistocrona corrispondente a una forza F' è funicolare per una 

 forza F disposta simmetricamente a F' rispetto alla normale della curva 

 ed eguale alla forza F' divisa per la tensione del filo. 



La velocità del punto mobile sulla brachistocrona e la tensione del filo 

 in ogni punto sono eguali tra loro. 



§ 5. 



Applicando questi teoremi al caso in cui la forza F è la forza di gravità 

 pili generalmente è costante in grandezza e direzione, otteniamo : 



La parabola è brachistocrona per una forza costante disposta simme- 

 tricam,ente alla direzione della gravità rispetto alla tangente alla curva 

 in ogni punto — è funicolare per una forza verticale diretta in alto e in- 

 versatnente proporzionale alla tensione del filo. 



C») MoBins. Lehrbuch der Slatik. Leipzig 1837. B. 2. S. 221-224. 



