SULLE RELAZIONI FRA LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 41 



La cicloide è traiettoria libera per una forza costante posta simmetri- 

 camente alla direzione della gravità rispetto alla tangente della curva — 

 è funicolare per una forza inversamente proporzionale alla tensione e po- 

 sta simmetricamente alla direzione della gravità rispetto alla normale della 

 curva. 



La catenaria è traiettoria libera per una forza verticale diretta in alto 

 e proporzionale alla velocità — è brachistocrona per una forza proporzio- 

 nale alla velocità e posta simmetricamente alla direzione della gravità ri- 

 spetto alla normale della curva. 



Nei paragrafi 12 3 abbiamo trovato tre sistemi di equazioni, che portano 

 i numeri (4) (6) (7). 



(4) 



ds 



Z f 

 ds 



ds 



ds 



X f 



ds 



ds 



dy d'z 



dz d^y 



dz d^x 



dx d^z 



dx d^y 



dy d^x 



da ds^ 



ds ds^ 



ds ds"^ 



ds ds'- 



ds ds'' 



da ds^ 



d^z 

 ds^ 



ryà*y 

 ^'ds* 



d'x 



^ ds^ 



dz d^x 



ds^ 



dx dH ~ 



ds* 



d*x 

 ds^ 



dy dH 



dz d'-y 



dx i*y 



dy d^x 



ds ds* 



ds ds^ 



ds ds""- 



ds ds* 



ds ds* 



ds ds^ 



Y <^z 

 ds 



ry dy 



^ ds 



ds 



xf 



da 



^dy 

 ds 



Y <^^ 

 ' ds 



ds^ 



ds^ 



d^x 

 ^^ ds^ 



ds* 



ds^ 



y.d*x 

 ds* 



(6) 



(■7) 



1 quali godono della proprietà di essere sistemi di equazioni differenziali 

 comuni alla traiettoria, alla brachistocrona, e alla funicolare, che corri- 

 spondono alla forza (X Y Z). 



È facile scuoprire il significato di queste equazioni. X Y 'L, ^~—, 



uS ds CvS 



-4- ^ t4- '"^on proporzionali ai coseni di direzione di tre rette che sono la 

 ds' OS OS 



forza F, la tangente t, e la normale principale p. Quindi 



Y ^^ 



ds 



ds ) 



rj dy 

 ^ ds 



-xf 



ds 



Y '^•^ 

 ds 



d*z 



ds* 



ryd*y 



^da"-. 



rj d*X 



^~ds* 



dsi 7 



'^ds^ 



y-d'-x 

 ds^ 



dy d*z 



dz d*y 



dz d*x 



dx d*z 



dx d*y 



dy d*x 



ds ds* ds ds* , ds ds* ds ds* , ds ds* ds ds* 



Oiornait tli Scienze .y<it. ed Econ., Vol. XIV. 



