42 SULLE RELAZIONI FRA. LE TRAIETTORIE, LE BRACHISTOCRONE E LE FUNICOLARI 



sono proporzionali ai coseni di direzione delle perpendicolari ai piani (F t) 

 (F p) [t p). Le equazioni (4) (6) (7) esprimono che queste perpendicolari 

 coincidono , cioè che le rette Ftp sono nello stesso piano : F cade nel 

 piano osculatore (t p). Si ritrova così che : 



La traiettoria , la brachistocrona e la funicolare corrispondenti a una 

 data forza F godono della proprietà che la forza F è contenuta in ogni 

 istante nel piano osculatore della curva. 



Si può del resto verificar facilmente che le relazioni (6) sono una conse- 

 guenza delle (4). 



§ 7. 



Supponiamo ora che la forza F sia costantemente parallela a una dire- 

 zione fissa, che prenderemo per asse OY. La curva [traiettoria, brachisto- 

 crona, funicolare) sarà evidentemente piana, e potremo prendere il suo piano 

 per piano XY. 



Indicando con N la porzione di normale contata fra il punto della curva 

 e l'asse OX, avremo 



e quindi (considerando solo il valore assoluto del rapporto -!— ) 

 per le traiettorie 



(8)- 

 per le brachistocrone egualmente 



(8)b 

 e per le funicolari 



(8)' 



Supponiamo inoltre che la forza sia proporzionale alla potenza 'in" della 

 ordinata, ossia 



Y = ay^\ 



essendo a una costante. La funzion di forza U è 



N 

 P 





N 



Y.t/ 



P 



t'- 



N 

 P 



Yy 

 T 



m-f-1 

 e quindi chiamando Uo </o i valori iniziali di U w 



